Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24639 / 8257
↖ ↑ ↗
← N 79.104048°
W 44.653930°		 ← 115.45 m → N 79.104048°
W 44.648437°		 →
↑
115.51 m
↓
↑
115.51 m
↓
N 79.103009°
W 44.653930°		 ← 115.47 m →
13 336 m²		 N 79.103009°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375968933105469 y=0.125999450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375968933105469 × 216)
    floor (0.375968933105469 × 65536)
    floor (24639.5)     		tx = 24639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125999450683594 × 216)
    floor (0.125999450683594 × 65536)
    floor (8257.5)     		ty = 8257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24639 / 8257 ti = "16/24639/8257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24639/8257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24639 ÷ 216
    24639 ÷ 65536     		x = 0.375961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8257 ÷ 216
    8257 ÷ 65536     		y = 0.125991821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.248077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77935811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125991821289062 × 2 - 1) × π
    0.748016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34996269317439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77935811} λ = -0.77935811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34996269317439))-π/2
    2×atan(10.4851785487033)-π/2
    2×1.47571120729562-π/2
    2.95142241459124-1.57079632675     		φ = 1.38062609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77935811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.653930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38062609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.104048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24639 KachelY 8257 -0.77935811 1.38062609 -44.653930 79.104048
    Oben rechts KachelX + 1 24640 KachelY 8257 -0.77926224 1.38062609 -44.648437 79.104048
    Unten links KachelX 24639 KachelY + 1 8258 -0.77935811 1.38060796 -44.653930 79.103009
    Unten rechts KachelX + 1 24640 KachelY + 1 8258 -0.77926224 1.38060796 -44.648437 79.103009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38062609-1.38060796) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dl = 115.506229999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38062609-1.38060796) × R
    1.81299999999496e-05 × 6371000     		dr = 115.506229999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77935811--0.77926224) × cos(1.38062609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189026065492636 × 6371000     		do = 115.454809014118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77935811--0.77926224) × cos(1.38060796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1890438686152 × 6371000     		du = 115.465682943649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38062609)-sin(1.38060796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189026065492636-0.1890438686152)×R²
    abs(-0.77926224--0.77935811)×1.78031225647191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78031225647191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78031225647191e-05×40589641000000     		ar = 13336.3777281127m²