Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24640 / 41024
↖ ↑ ↗
← S 41.244773°
W 44.648437°		 ← 459.25 m → S 41.244773°
W 44.642945°		 →
↑
459.22 m
↓
↑
459.22 m
↓
S 41.248902°
W 44.648437°		 ← 459.22 m →
210 891 m²		 S 41.248902°
W 44.642945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375984191894531 y=0.625984191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375984191894531 × 216)
    floor (0.375984191894531 × 65536)
    floor (24640.5)     		tx = 24640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625984191894531 × 216)
    floor (0.625984191894531 × 65536)
    floor (41024.5)     		ty = 41024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24640 / 41024 ti = "16/24640/41024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24640/41024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24640 ÷ 216
    24640 ÷ 65536     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41024 ÷ 216
    41024 ÷ 65536     		y = 0.6259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791534086526367))-π/2
    2×atan(0.453149091867909)-π/2
    2×0.425469625094814-π/2
    0.850939250189629-1.57079632675     		φ = -0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24640 KachelY 41024 -0.77926224 -0.71985708 -44.648437 -41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 24641 KachelY 41024 -0.77916637 -0.71985708 -44.642945 -41.244773
    Unten links KachelX 24640 KachelY + 1 41025 -0.77926224 -0.71992916 -44.648437 -41.248902
    Unten rechts KachelX + 1 24641 KachelY + 1 41025 -0.77916637 -0.71992916 -44.642945 -41.248902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71985708--0.71992916) × R
    7.20799999999189e-05 × 6371000     		dl = 459.221679999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71985708--0.71992916) × R
    7.20799999999189e-05 × 6371000     		dr = 459.221679999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77916637) × cos(-0.71985708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 459.251300271034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77916637) × cos(-0.71992916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751852438064623 × 6371000     		du = 459.222274014544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71985708)-sin(-0.71992916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751852438064623)×R²
    abs(-0.77916637--0.77926224)×4.75226550299412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75226550299412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75226550299412e-05×40589641000000     		ar = 210891.489000829m²