Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24640 / 57407
↖ ↑ ↗
← S 79.236159°
W 44.648437°		 ← 114.07 m → S 79.236159°
W 44.642945°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 79.237185°
W 44.648437°		 ← 114.06 m →
13 015 m²		 S 79.237185°
W 44.642945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375984191894531 y=0.875968933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375984191894531 × 216)
    floor (0.375984191894531 × 65536)
    floor (24640.5)     		tx = 24640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875968933105469 × 216)
    floor (0.875968933105469 × 65536)
    floor (57407.5)     		ty = 57407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24640 / 57407 ti = "16/24640/57407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24640/57407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24640 ÷ 216
    24640 ÷ 65536     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57407 ÷ 216
    57407 ÷ 65536     		y = 0.875961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.751922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36223453947713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36223453947713))-π/2
    2×atan(0.0942094730326039)-π/2
    2×0.093932231558594-π/2
    0.187864463117188-1.57079632675     		φ = -1.38293186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38293186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.236159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24640 KachelY 57407 -0.77926224 -1.38293186 -44.648437 -79.236159
    Oben rechts KachelX + 1 24641 KachelY 57407 -0.77916637 -1.38293186 -44.642945 -79.236159
    Unten links KachelX 24640 KachelY + 1 57408 -0.77926224 -1.38294977 -44.648437 -79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 24641 KachelY + 1 57408 -0.77916637 -1.38294977 -44.642945 -79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38293186--1.38294977) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38293186--1.38294977) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77916637) × cos(-1.38293186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186761363273302 × 6371000     		do = 114.071556595857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77916637) × cos(-1.38294977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 114.060809840592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38293186)-sin(-1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186761363273302-0.186743768364246)×R²
    abs(-0.77916637--0.77926224)×1.75949090553129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75949090553129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75949090553129e-05×40589641000000     		ar = 13015.4773509525m²