Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24642 / 41030
↖ ↑ ↗
← S 41.269550°
W 44.637451°		 ← 459.08 m → S 41.269550°
W 44.631958°		 →
↑
459.09 m
↓
↑
459.09 m
↓
S 41.273678°
W 44.637451°		 ← 459.05 m →
210 753 m²		 S 41.273678°
W 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376014709472656 y=0.626075744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376014709472656 × 216)
    floor (0.376014709472656 × 65536)
    floor (24642.5)     		tx = 24642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626075744628906 × 216)
    floor (0.626075744628906 × 65536)
    floor (41030.5)     		ty = 41030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24642 / 41030 ti = "16/24642/41030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24642/41030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24642 ÷ 216
    24642 ÷ 65536     		x = 0.376007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41030 ÷ 216
    41030 ÷ 65536     		y = 0.626068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.24798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77907049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.25213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.792109329321808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77907049} λ = -0.77907049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792109329321808))-π/2
    2×atan(0.452888496077663)-π/2
    2×0.425253403586261-π/2
    0.850506807172521-1.57079632675     		φ = -0.72028952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77907049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.637451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72028952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.269550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24642 KachelY 41030 -0.77907049 -0.72028952 -44.637451 -41.269550
    Oben rechts KachelX + 1 24643 KachelY 41030 -0.77897462 -0.72028952 -44.631958 -41.269550
    Unten links KachelX 24642 KachelY + 1 41031 -0.77907049 -0.72036158 -44.637451 -41.273678
    Unten rechts KachelX + 1 24643 KachelY + 1 41031 -0.77897462 -0.72036158 -44.631958 -41.273678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72028952--0.72036158) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dl = 459.09425999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72028952--0.72036158) × R
    7.20599999999294e-05 × 6371000     		dr = 459.09425999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77907049--0.77897462) × cos(-0.72028952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751614792584467 × 6371000     		do = 459.077123061669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77907049--0.77897462) × cos(-0.72036158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751567259690822 × 6371000     		du = 459.048090551558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72028952)-sin(-0.72036158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751614792584467-0.751567259690822)×R²
    abs(-0.77897462--0.77907049)×4.7532893644342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7532893644342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7532893644342e-05×40589641000000     		ar = 210753.007856445m²