Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24642 / 8258
↖ ↑ ↗
← N 66.222600°
E 90.725098°		 ← 492.55 m → N 66.222600°
E 90.736084°		 →
↑
492.61 m
↓
↑
492.61 m
↓
N 66.218170°
E 90.725098°		 ← 492.63 m →
242 652 m²		 N 66.218170°
E 90.736084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752029418945312 y=0.252029418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752029418945312 × 215)
    floor (0.752029418945312 × 32768)
    floor (24642.5)     		tx = 24642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252029418945312 × 215)
    floor (0.252029418945312 × 32768)
    floor (8258.5)     		ty = 8258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24642 / 8258 ti = "15/24642/8258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24642/8258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24642 ÷ 215
    24642 ÷ 32768     		x = 0.75201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8258 ÷ 215
    8258 ÷ 32768     		y = 0.25201416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75201416015625 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58345167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25201416015625 × 2 - 1) × π
    0.4959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55814098525031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58345167} λ = 1.58345167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55814098525031))-π/2
    2×atan(4.74998274424918)-π/2
    2×1.36329936801759-π/2
    2.72659873603518-1.57079632675     		φ = 1.15580241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58345167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15580241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.222600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24642 KachelY 8258 1.58345167 1.15580241 90.725098 66.222600
    Oben rechts KachelX + 1 24643 KachelY 8258 1.58364342 1.15580241 90.736084 66.222600
    Unten links KachelX 24642 KachelY + 1 8259 1.58345167 1.15572509 90.725098 66.218170
    Unten rechts KachelX + 1 24643 KachelY + 1 8259 1.58364342 1.15572509 90.736084 66.218170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15580241-1.15572509) × R
    7.73199999999363e-05 × 6371000     		dl = 492.605719999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15580241-1.15572509) × R
    7.73199999999363e-05 × 6371000     		dr = 492.605719999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58345167-1.58364342) × cos(1.15580241) × R
    0.000191749999999935 × 0.403184363537896 × 6371000     		do = 492.545843483995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58345167-1.58364342) × cos(1.15572509) × R
    0.000191749999999935 × 0.403255119316171 × 6371000     		du = 492.632281519901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15580241)-sin(1.15572509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403184363537896-0.403255119316171)×R²
    abs(1.58364342-1.58345167)×7.07557782753665e-05×R²
    0.000191749999999935×7.07557782753665e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.07557782753665e-05×40589641000000     		ar = 242652.189918635m²