Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24644 / 57412
↖ ↑ ↗
← S 79.241287°
W 44.626465°		 ← 114.03 m → S 79.241287°
W 44.620972°		 →
↑
114.04 m
↓
↑
114.04 m
↓
S 79.242313°
W 44.626465°		 ← 114.02 m →
13 003 m²		 S 79.242313°
W 44.620972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376045227050781 y=0.876045227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376045227050781 × 216)
    floor (0.376045227050781 × 65536)
    floor (24644.5)     		tx = 24644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876045227050781 × 216)
    floor (0.876045227050781 × 65536)
    floor (57412.5)     		ty = 57412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24644 / 57412 ti = "16/24644/57412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24644/57412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24644 ÷ 216
    24644 ÷ 65536     		x = 0.37603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57412 ÷ 216
    57412 ÷ 65536     		y = 0.87603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.7520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36271390847333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77887875} λ = -0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36271390847333))-π/2
    2×atan(0.09416432275477)-π/2
    2×0.0938874782946575-π/2
    0.187774956589315-1.57079632675     		φ = -1.38302137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38302137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.241287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24644 KachelY 57412 -0.77887875 -1.38302137 -44.626465 -79.241287
    Oben rechts KachelX + 1 24645 KachelY 57412 -0.77878287 -1.38302137 -44.620972 -79.241287
    Unten links KachelX 24644 KachelY + 1 57413 -0.77887875 -1.38303927 -44.626465 -79.242313
    Unten rechts KachelX + 1 24645 KachelY + 1 57413 -0.77878287 -1.38303927 -44.620972 -79.242313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38302137--1.38303927) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dl = 114.040900000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38302137--1.38303927) × R
    1.79000000000151e-05 × 6371000     		dr = 114.040900000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77887875--0.77878287) × cos(-1.38302137) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186673427425948 × 6371000     		do = 114.029739419738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77887875--0.77878287) × cos(-1.38303927) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186655842041829 × 6371000     		du = 114.018997361823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38302137)-sin(-1.38303927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186673427425948-0.186655842041829)×R²
    abs(-0.77878287--0.77887875)×1.7585384118779e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.7585384118779e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.7585384118779e-05×40589641000000     		ar = 13003.4415938114m²