Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24645 / 41029
↖ ↑ ↗
← S 41.265421°
W 44.620972°		 ← 459.11 m → S 41.265421°
W 44.615479°		 →
↑
459.09 m
↓
↑
459.09 m
↓
S 41.269550°
W 44.620972°		 ← 459.08 m →
210 766 m²		 S 41.269550°
W 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376060485839844 y=0.626060485839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376060485839844 × 216)
    floor (0.376060485839844 × 65536)
    floor (24645.5)     		tx = 24645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626060485839844 × 216)
    floor (0.626060485839844 × 65536)
    floor (41029.5)     		ty = 41029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24645 / 41029 ti = "16/24645/41029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24645/41029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24645 ÷ 216
    24645 ÷ 65536     		x = 0.376052856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41029 ÷ 216
    41029 ÷ 65536     		y = 0.626052856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376052856445312 × 2 - 1) × π
    -0.247894287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77878287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626052856445312 × 2 - 1) × π
    -0.252105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.792013455522568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77878287} λ = -0.77878287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792013455522568))-π/2
    2×atan(0.452931918299907)-π/2
    2×0.425289434808376-π/2
    0.850578869616752-1.57079632675     		φ = -0.72021746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77878287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.620972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72021746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.265421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24645 KachelY 41029 -0.77878287 -0.72021746 -44.620972 -41.265421
    Oben rechts KachelX + 1 24646 KachelY 41029 -0.77868700 -0.72021746 -44.615479 -41.265421
    Unten links KachelX 24645 KachelY + 1 41030 -0.77878287 -0.72028952 -44.620972 -41.269550
    Unten rechts KachelX + 1 24646 KachelY + 1 41030 -0.77868700 -0.72028952 -44.615479 -41.269550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72021746--0.72028952) × R
    7.20600000000404e-05 × 6371000     		dl = 459.094260000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72021746--0.72028952) × R
    7.20600000000404e-05 × 6371000     		dr = 459.094260000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77878287--0.77868700) × cos(-0.72021746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751662321575243 × 6371000     		do = 459.106153187956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77878287--0.77868700) × cos(-0.72028952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.751614792584467 × 6371000     		du = 459.077123061669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72021746)-sin(-0.72028952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751662321575243-0.751614792584467)×R²
    abs(-0.77868700--0.77878287)×4.75289907766463e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75289907766463e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75289907766463e-05×40589641000000     		ar = 210766.335968732m²