Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24646 / 41022
↖ ↑ ↗
← S 41.236511°
W 44.615479°		 ← 459.36 m → S 41.236511°
W 44.609985°		 →
↑
459.35 m
↓
↑
459.35 m
↓
S 41.240642°
W 44.615479°		 ← 459.33 m →
210 999 m²		 S 41.240642°
W 44.609985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376075744628906 y=0.625953674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376075744628906 × 216)
    floor (0.376075744628906 × 65536)
    floor (24646.5)     		tx = 24646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625953674316406 × 216)
    floor (0.625953674316406 × 65536)
    floor (41022.5)     		ty = 41022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24646 / 41022 ti = "16/24646/41022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24646/41022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24646 ÷ 216
    24646 ÷ 65536     		x = 0.376068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41022 ÷ 216
    41022 ÷ 65536     		y = 0.625946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.24786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77868700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.25189208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.791342338927887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77868700} λ = -0.77868700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791342338927887))-π/2
    2×atan(0.453235990449059)-π/2
    2×0.425541717157319-π/2
    0.851083434314637-1.57079632675     		φ = -0.71971289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77868700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.615479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71971289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.236511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24646 KachelY 41022 -0.77868700 -0.71971289 -44.615479 -41.236511
    Oben rechts KachelX + 1 24647 KachelY 41022 -0.77859112 -0.71971289 -44.609985 -41.236511
    Unten links KachelX 24646 KachelY + 1 41023 -0.77868700 -0.71978499 -44.615479 -41.240642
    Unten rechts KachelX + 1 24647 KachelY + 1 41023 -0.77859112 -0.71978499 -44.609985 -41.240642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71971289--0.71978499) × R
    7.20999999999083e-05 × 6371000     		dl = 459.349099999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71971289--0.71978499) × R
    7.20999999999083e-05 × 6371000     		dr = 459.349099999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77868700--0.77859112) × cos(-0.71971289) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.751995014084982 × 6371000     		do = 459.357267306663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77868700--0.77859112) × cos(-0.71978499) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.751947486060397 × 6371000     		du = 459.328234742504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71971289)-sin(-0.71978499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751995014084982-0.751947486060397)×R²
    abs(-0.77859112--0.77868700)×4.75280245848531e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75280245848531e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75280245848531e-05×40589641000000     		ar = 210998.679365529m²