Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24648 / 8264
↖ ↑ ↗
← N 66.196009°
E 90.791015°		 ← 493.06 m → N 66.196009°
E 90.802002°		 →
↑
493.12 m
↓
↑
493.12 m
↓
N 66.191574°
E 90.791015°		 ← 493.15 m →
243 159 m²		 N 66.191574°
E 90.802002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752212524414062 y=0.252212524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752212524414062 × 215)
    floor (0.752212524414062 × 32768)
    floor (24648.5)     		tx = 24648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252212524414062 × 215)
    floor (0.252212524414062 × 32768)
    floor (8264.5)     		ty = 8264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24648 / 8264 ti = "15/24648/8264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24648/8264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24648 ÷ 215
    24648 ÷ 32768     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8264 ÷ 215
    8264 ÷ 32768     		y = 0.252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.252197265625 × 2 - 1) × π
    0.49560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55699049965942))-π/2
    2×atan(4.74452109991897)-π/2
    2×1.36306731699134-π/2
    2.72613463398267-1.57079632675     		φ = 1.15533831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15533831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24648 KachelY 8264 1.58460215 1.15533831 90.791015 66.196009
    Oben rechts KachelX + 1 24649 KachelY 8264 1.58479390 1.15533831 90.802002 66.196009
    Unten links KachelX 24648 KachelY + 1 8265 1.58460215 1.15526091 90.791015 66.191574
    Unten rechts KachelX + 1 24649 KachelY + 1 8265 1.58479390 1.15526091 90.802002 66.191574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15533831-1.15526091) × R
    7.74000000001163e-05 × 6371000     		dl = 493.115400000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15533831-1.15526091) × R
    7.74000000001163e-05 × 6371000     		dr = 493.115400000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58479390) × cos(1.15533831) × R
    0.000191749999999935 × 0.403609026724576 × 6371000     		do = 493.064628700874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58479390) × cos(1.15526091) × R
    0.000191749999999935 × 0.403679841218036 × 6371000     		du = 493.151138465553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15533831)-sin(1.15526091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403609026724576-0.403679841218036)×R²
    abs(1.58479390-1.58460215)×7.08144934598032e-05×R²
    0.000191749999999935×7.08144934598032e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.08144934598032e-05×40589641000000     		ar = 243159.091378011m²