Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24656 / 8272
↖ ↑ ↗
← N 66.160510°
E 90.878906°		 ← 493.76 m → N 66.160510°
E 90.889892°		 →
↑
493.75 m
↓
↑
493.75 m
↓
N 66.156070°
E 90.878906°		 ← 493.84 m →
243 815 m²		 N 66.156070°
E 90.889892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752456665039062 y=0.252456665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752456665039062 × 215)
    floor (0.752456665039062 × 32768)
    floor (24656.5)     		tx = 24656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.252456665039062 × 215)
    floor (0.252456665039062 × 32768)
    floor (8272.5)     		ty = 8272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24656 / 8272 ti = "15/24656/8272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24656/8272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24656 ÷ 215
    24656 ÷ 32768     		x = 0.75244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8272 ÷ 215
    8272 ÷ 32768     		y = 0.25244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58613613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25244140625 × 2 - 1) × π
    0.4951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55545651887158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58613613} λ = 1.58613613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55545651887158))-π/2
    2×atan(4.73724867501029)-π/2
    2×1.36275753542635-π/2
    2.72551507085269-1.57079632675     		φ = 1.15471874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58613613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15471874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.160510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24656 KachelY 8272 1.58613613 1.15471874 90.878906 66.160510
    Oben rechts KachelX + 1 24657 KachelY 8272 1.58632788 1.15471874 90.889892 66.160510
    Unten links KachelX 24656 KachelY + 1 8273 1.58613613 1.15464124 90.878906 66.156070
    Unten rechts KachelX + 1 24657 KachelY + 1 8273 1.58632788 1.15464124 90.889892 66.156070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15471874-1.15464124) × R
    7.75000000001747e-05 × 6371000     		dl = 493.752500001113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15471874-1.15464124) × R
    7.75000000001747e-05 × 6371000     		dr = 493.752500001113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58613613-1.58632788) × cos(1.15471874) × R
    0.000191749999999935 × 0.40417581336684 × 6371000     		do = 493.757037509439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58613613-1.58632788) × cos(1.15464124) × R
    0.000191749999999935 × 0.404246699955056 × 6371000     		du = 493.843635347902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15471874)-sin(1.15464124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40417581336684-0.404246699955056)×R²
    abs(1.58632788-1.58613613)×7.08865882155241e-05×R²
    0.000191749999999935×7.08865882155241e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.08865882155241e-05×40589641000000     		ar = 243815.150735227m²