Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24672 / 24672
↖ ↑ ↗
← S 66.930060°
E 91.054688°		 ← 478.68 m → S 66.930060°
E 91.065674°		 →
↑
478.65 m
↓
↑
478.65 m
↓
S 66.934365°
E 91.054688°		 ← 478.60 m →
229 101 m²		 S 66.934365°
E 91.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752944946289062 y=0.752944946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752944946289062 × 215)
    floor (0.752944946289062 × 32768)
    floor (24672.5)     		tx = 24672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752944946289062 × 215)
    floor (0.752944946289062 × 32768)
    floor (24672.5)     		ty = 24672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24672 / 24672 ti = "15/24672/24672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24672/24672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24672 ÷ 215
    24672 ÷ 32768     		x = 0.7529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24672 ÷ 215
    24672 ÷ 32768     		y = 0.7529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58920410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    -0.505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5892040962041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58920410} λ = 1.58920410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5892040962041))-π/2
    2×atan(0.204087981509463)-π/2
    2×0.201323203370746-π/2
    0.402646406741491-1.57079632675     		φ = -1.16814992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58920410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16814992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.930060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24672 KachelY 24672 1.58920410 -1.16814992 91.054688 -66.930060
    Oben rechts KachelX + 1 24673 KachelY 24672 1.58939584 -1.16814992 91.065674 -66.930060
    Unten links KachelX 24672 KachelY + 1 24673 1.58920410 -1.16822505 91.054688 -66.934365
    Unten rechts KachelX + 1 24673 KachelY + 1 24673 1.58939584 -1.16822505 91.065674 -66.934365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16814992--1.16822505) × R
    7.51299999999233e-05 × 6371000     		dl = 478.653229999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16814992--1.16822505) × R
    7.51299999999233e-05 × 6371000     		dr = 478.653229999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58920410-1.58939584) × cos(-1.16814992) × R
    0.000191739999999996 × 0.3918544778977 × 6371000     		do = 478.67984543929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58920410-1.58939584) × cos(-1.16822505) × R
    0.000191739999999996 × 0.391785355147522 × 6371000     		du = 478.595406778415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16814992)-sin(-1.16822505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3918544778977-0.391785355147522)×R²
    abs(1.58939584-1.58920410)×6.91227501781189e-05×R²
    0.000191739999999996×6.91227501781189e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.91227501781189e-05×40589641000000     		ar = 229101.445844586m²