Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24672 / 57440
↖ ↑ ↗
← S 79.269962°
W 44.472656°		 ← 113.73 m → S 79.269962°
W 44.467163°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 79.270984°
W 44.472656°		 ← 113.72 m →
12 933 m²		 S 79.270984°
W 44.467163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376472473144531 y=0.876472473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376472473144531 × 216)
    floor (0.376472473144531 × 65536)
    floor (24672.5)     		tx = 24672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876472473144531 × 216)
    floor (0.876472473144531 × 65536)
    floor (57440.5)     		ty = 57440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24672 / 57440 ti = "16/24672/57440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24672/57440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24672 ÷ 216
    24672 ÷ 65536     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57440 ÷ 216
    57440 ÷ 65536     		y = 0.87646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36539837485205))-π/2
    2×atan(0.0939118807838503)-π/2
    2×0.0936372491425956-π/2
    0.187274498285191-1.57079632675     		φ = -1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24672 KachelY 57440 -0.77619428 -1.38352183 -44.472656 -79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 24673 KachelY 57440 -0.77609840 -1.38352183 -44.467163 -79.269962
    Unten links KachelX 24672 KachelY + 1 57441 -0.77619428 -1.38353968 -44.472656 -79.270984
    Unten rechts KachelX + 1 24673 KachelY + 1 57441 -0.77609840 -1.38353968 -44.467163 -79.270984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38352183--1.38353968) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38352183--1.38353968) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77609840) × cos(-1.38352183) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 113.729392126634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77609840) × cos(-1.38353968) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186164203215484 × 6371000     		du = 113.718679057256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38352183)-sin(-1.38353968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186164203215484)×R²
    abs(-0.77609840--0.77619428)×1.75379281693033e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75379281693033e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75379281693033e-05×40589641000000     		ar = 12932.9645792603m²