Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24672 / 8160
↖ ↑ ↗
← N 66.652977°
E 91.054688°		 ← 484.11 m → N 66.652977°
E 91.065674°		 →
↑
484.13 m
↓
↑
484.13 m
↓
N 66.648623°
E 91.054688°		 ← 484.19 m →
234 394 m²		 N 66.648623°
E 91.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752944946289062 y=0.249038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752944946289062 × 215)
    floor (0.752944946289062 × 32768)
    floor (24672.5)     		tx = 24672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249038696289062 × 215)
    floor (0.249038696289062 × 32768)
    floor (8160.5)     		ty = 8160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24672 / 8160 ti = "15/24672/8160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24672/8160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24672 ÷ 215
    24672 ÷ 32768     		x = 0.7529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8160 ÷ 215
    8160 ÷ 32768     		y = 0.2490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    0.505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58920410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2490234375 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58920410} λ = 1.58920410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57693224990137))-π/2
    2×atan(4.84008484194008)-π/2
    2×1.36705511933703-π/2
    2.73411023867405-1.57079632675     		φ = 1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58920410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24672 KachelY 8160 1.58920410 1.16331391 91.054688 66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 24673 KachelY 8160 1.58939584 1.16331391 91.065674 66.652977
    Unten links KachelX 24672 KachelY + 1 8161 1.58920410 1.16323792 91.054688 66.648623
    Unten rechts KachelX + 1 24673 KachelY + 1 8161 1.58939584 1.16323792 91.065674 66.648623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16331391-1.16323792) × R
    7.59900000000258e-05 × 6371000     		dl = 484.132290000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16331391-1.16323792) × R
    7.59900000000258e-05 × 6371000     		dr = 484.132290000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58920410-1.58939584) × cos(1.16331391) × R
    0.000191739999999996 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 484.109334976797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58920410-1.58939584) × cos(1.16323792) × R
    0.000191739999999996 × 0.396368906110271 × 6371000     		du = 484.194560520853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16331391)-sin(1.16323792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.396368906110271)×R²
    abs(1.58939584-1.58920410)×6.97669045137128e-05×R²
    0.000191739999999996×6.97669045137128e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.97669045137128e-05×40589641000000     		ar = 234393.591284002m²