Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24680 / 41064
↖ ↑ ↗
← S 41.409776°
W 44.428711°		 ← 458.14 m → S 41.409776°
W 44.423218°		 →
↑
458.07 m
↓
↑
458.07 m
↓
S 41.413895°
W 44.428711°		 ← 458.11 m →
209 855 m²		 S 41.413895°
W 44.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376594543457031 y=0.626594543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376594543457031 × 216)
    floor (0.376594543457031 × 65536)
    floor (24680.5)     		tx = 24680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626594543457031 × 216)
    floor (0.626594543457031 × 65536)
    floor (41064.5)     		ty = 41064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24680 / 41064 ti = "16/24680/41064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24680/41064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24680 ÷ 216
    24680 ÷ 65536     		x = 0.3765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41064 ÷ 216
    41064 ÷ 65536     		y = 0.6265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77542729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.795369038495972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77542729} λ = -0.77542729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795369038495972))-π/2
    2×atan(0.451414614809356)-π/2
    2×0.424029698015303-π/2
    0.848059396030606-1.57079632675     		φ = -0.72273693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77542729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72273693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.409776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24680 KachelY 41064 -0.77542729 -0.72273693 -44.428711 -41.409776
    Oben rechts KachelX + 1 24681 KachelY 41064 -0.77533141 -0.72273693 -44.423218 -41.409776
    Unten links KachelX 24680 KachelY + 1 41065 -0.77542729 -0.72280883 -44.428711 -41.413895
    Unten rechts KachelX + 1 24681 KachelY + 1 41065 -0.77533141 -0.72280883 -44.423218 -41.413895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72273693--0.72280883) × R
    7.18999999999026e-05 × 6371000     		dl = 458.074899999379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72273693--0.72280883) × R
    7.18999999999026e-05 × 6371000     		dr = 458.074899999379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77542729--0.77533141) × cos(-0.72273693) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749998225897634 × 6371000     		do = 458.137526286644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77542729--0.77533141) × cos(-0.72280883) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749950666434623 × 6371000     		du = 458.108474518275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72273693)-sin(-0.72280883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749998225897634-0.749950666434623)×R²
    abs(-0.77533141--0.77542729)×4.75594630112708e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75594630112708e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75594630112708e-05×40589641000000     		ar = 209854.647687069m²