Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24703 / 24705
↖ ↑ ↗
← S 67.071714°
E 91.395264°		 ← 475.92 m → S 67.071714°
E 91.406250°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
S 67.075993°
E 91.395264°		 ← 475.84 m →
226 449 m²		 S 67.075993°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753890991210938 y=0.753952026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753890991210938 × 215)
    floor (0.753890991210938 × 32768)
    floor (24703.5)     		tx = 24703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753952026367188 × 215)
    floor (0.753952026367188 × 32768)
    floor (24705.5)     		ty = 24705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24703 / 24705 ti = "15/24703/24705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24703/24705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24703 ÷ 215
    24703 ÷ 32768     		x = 0.753875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24705 ÷ 215
    24705 ÷ 32768     		y = 0.753936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.753875732421875 × 2 - 1) × π
    0.50775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.59514827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.50787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59553176695395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59514827} λ = 1.59514827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59553176695395))-π/2
    2×atan(0.202800657136168)-π/2
    2×0.20008704330081-π/2
    0.400174086601621-1.57079632675     		φ = -1.17062224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59514827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17062224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.071714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24703 KachelY 24705 1.59514827 -1.17062224 91.395264 -67.071714
    Oben rechts KachelX + 1 24704 KachelY 24705 1.59534002 -1.17062224 91.406250 -67.071714
    Unten links KachelX 24703 KachelY + 1 24706 1.59514827 -1.17069693 91.395264 -67.075993
    Unten rechts KachelX + 1 24704 KachelY + 1 24706 1.59534002 -1.17069693 91.406250 -67.075993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17062224--1.17069693) × R
    7.46900000001549e-05 × 6371000     		dl = 475.849990000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17062224--1.17069693) × R
    7.46900000001549e-05 × 6371000     		dr = 475.849990000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59514827-1.59534002) × cos(-1.17062224) × R
    0.000191750000000157 × 0.389578680963293 × 6371000     		do = 475.924607628377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59514827-1.59534002) × cos(-1.17069693) × R
    0.000191750000000157 × 0.389509890895535 × 6371000     		du = 475.840570981593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17062224)-sin(-1.17069693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389578680963293-0.389509890895535)×R²
    abs(1.59534002-1.59514827)×6.87900677582287e-05×R²
    0.000191750000000157×6.87900677582287e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.87900677582287e-05×40589641000000     		ar = 226448.725467535m²