Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24703 / 57471
↖ ↑ ↗
← S 79.301620°
W 44.302368°		 ← 113.39 m → S 79.301620°
W 44.296875°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 79.302640°
W 44.302368°		 ← 113.38 m →
12 858 m²		 S 79.302640°
W 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376945495605469 y=0.876945495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376945495605469 × 216)
    floor (0.376945495605469 × 65536)
    floor (24703.5)     		tx = 24703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876945495605469 × 216)
    floor (0.876945495605469 × 65536)
    floor (57471.5)     		ty = 57471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24703 / 57471 ti = "16/24703/57471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24703/57471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24703 ÷ 216
    24703 ÷ 65536     		x = 0.376937866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57471 ÷ 216
    57471 ÷ 65536     		y = 0.876937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376937866210938 × 2 - 1) × π
    -0.246124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77322219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876937866210938 × 2 - 1) × π
    -0.753875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36837046262849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77322219} λ = -0.77322219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36837046262849))-π/2
    2×atan(0.0936331807964761)-π/2
    2×0.0933609784842822-π/2
    0.186721956968564-1.57079632675     		φ = -1.38407437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77322219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.302368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38407437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.301620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24703 KachelY 57471 -0.77322219 -1.38407437 -44.302368 -79.301620
    Oben rechts KachelX + 1 24704 KachelY 57471 -0.77312632 -1.38407437 -44.296875 -79.301620
    Unten links KachelX 24703 KachelY + 1 57472 -0.77322219 -1.38409217 -44.302368 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 24704 KachelY + 1 57472 -0.77312632 -1.38409217 -44.296875 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38407437--1.38409217) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38407437--1.38409217) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77322219--0.77312632) × cos(-1.38407437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185638833734209 × 6371000     		do = 113.385929281916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77322219--0.77312632) × cos(-1.38409217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 113.375246218644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38407437)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185638833734209-0.18562134310359)×R²
    abs(-0.77312632--0.77322219)×1.74906306184552e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74906306184552e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74906306184552e-05×40589641000000     		ar = 12857.789497399m²