Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 24704 / 57472
↖ ↑ ↗
← N 21.616579°
W112.148438°		 ← 283.95 m → N 21.616579°
W112.145691°		 →
↑
283.89 m
↓
↑
283.89 m
↓
N 21.614026°
W112.148438°		 ← 283.95 m →
80 610 m²		 N 21.614026°
W112.145691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.188480377197266 y=0.438480377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.188480377197266 × 217)
    floor (0.188480377197266 × 131072)
    floor (24704.5)     		tx = 24704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438480377197266 × 217)
    floor (0.438480377197266 × 131072)
    floor (57472.5)     		ty = 57472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24704 / 57472 ti = "17/24704/57472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24704/57472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24704 ÷ 217
    24704 ÷ 131072     		x = 0.1884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57472 ÷ 217
    57472 ÷ 131072     		y = 0.4384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1884765625 × 2 - 1) × π
    -0.623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.95735949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.386563158536133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95735949} λ = -1.95735949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386563158536133))-π/2
    2×atan(1.47191335802372)-π/2
    2×0.97403840461466-π/2
    1.94807680922932-1.57079632675     		φ = 0.37728048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95735949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -112.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37728048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.616579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24704 KachelY 57472 -1.95735949 0.37728048 -112.148438 21.616579
    Oben rechts KachelX + 1 24705 KachelY 57472 -1.95731155 0.37728048 -112.145691 21.616579
    Unten links KachelX 24704 KachelY + 1 57473 -1.95735949 0.37723592 -112.148438 21.614026
    Unten rechts KachelX + 1 24705 KachelY + 1 57473 -1.95731155 0.37723592 -112.145691 21.614026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37728048-0.37723592) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dl = 283.891759999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37728048-0.37723592) × R
    4.45599999999713e-05 × 6371000     		dr = 283.891759999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95735949--1.95731155) × cos(0.37728048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929669925866356 × 6371000     		do = 283.945125063291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95735949--1.95731155) × cos(0.37723592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929686340561251 × 6371000     		du = 283.950138533626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37728048)-sin(0.37723592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929669925866356-0.929686340561251)×R²
    abs(-1.95731155--1.95735949)×1.6414694894884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6414694894884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6414694894884e-05×40589641000000     		ar = 80610.3929523914m²