Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24705 / 57473
↖ ↑ ↗
← S 79.303659°
W 44.291382°		 ← 113.36 m → S 79.303659°
W 44.285889°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 79.304679°
W 44.291382°		 ← 113.35 m →
12 855 m²		 S 79.304679°
W 44.285889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376976013183594 y=0.876976013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376976013183594 × 216)
    floor (0.376976013183594 × 65536)
    floor (24705.5)     		tx = 24705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876976013183594 × 216)
    floor (0.876976013183594 × 65536)
    floor (57473.5)     		ty = 57473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24705 / 57473 ti = "16/24705/57473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24705/57473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24705 ÷ 216
    24705 ÷ 65536     		x = 0.376968383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57473 ÷ 216
    57473 ÷ 65536     		y = 0.876968383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.246063232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77303044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876968383789062 × 2 - 1) × π
    -0.753936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36856221022697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77303044} λ = -0.77303044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36856221022697))-π/2
    2×atan(0.0936152285801226)-π/2
    2×0.0933431822605803-π/2
    0.186686364521161-1.57079632675     		φ = -1.38410996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77303044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.291382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38410996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.303659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24705 KachelY 57473 -0.77303044 -1.38410996 -44.291382 -79.303659
    Oben rechts KachelX + 1 24706 KachelY 57473 -0.77293457 -1.38410996 -44.285889 -79.303659
    Unten links KachelX 24705 KachelY + 1 57474 -0.77303044 -1.38412776 -44.291382 -79.304679
    Unten rechts KachelX + 1 24706 KachelY + 1 57474 -0.77293457 -1.38412776 -44.285889 -79.304679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38410996--1.38412776) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38410996--1.38412776) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77303044--0.77293457) × cos(-1.38410996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		do = 113.364569121202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77303044--0.77293457) × cos(-1.38412776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		du = 113.353885986111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38410996)-sin(-1.38412776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185603862240406-0.185586371492202)×R²
    abs(-0.77293457--0.77303044)×1.7490748204424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7490748204424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7490748204424e-05×40589641000000     		ar = 12855.3671700265m²