Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24706 / 41090
↖ ↑ ↗
← S 41.516804°
W 44.285889°		 ← 457.33 m → S 41.516804°
W 44.280396°		 →
↑
457.37 m
↓
↑
457.37 m
↓
S 41.520917°
W 44.285889°		 ← 457.31 m →
209 166 m²		 S 41.520917°
W 44.280396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376991271972656 y=0.626991271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376991271972656 × 216)
    floor (0.376991271972656 × 65536)
    floor (24706.5)     		tx = 24706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626991271972656 × 216)
    floor (0.626991271972656 × 65536)
    floor (41090.5)     		ty = 41090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24706 / 41090 ti = "16/24706/41090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24706/41090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24706 ÷ 216
    24706 ÷ 65536     		x = 0.376983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41090 ÷ 216
    41090 ÷ 65536     		y = 0.626983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.25396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797861757276215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77293457} λ = -0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797861757276215))-π/2
    2×atan(0.450290766422268)-π/2
    2×0.423095701419046-π/2
    0.846191402838093-1.57079632675     		φ = -0.72460492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72460492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.516804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24706 KachelY 41090 -0.77293457 -0.72460492 -44.285889 -41.516804
    Oben rechts KachelX + 1 24707 KachelY 41090 -0.77283870 -0.72460492 -44.280396 -41.516804
    Unten links KachelX 24706 KachelY + 1 41091 -0.77293457 -0.72467671 -44.285889 -41.520917
    Unten rechts KachelX + 1 24707 KachelY + 1 41091 -0.77283870 -0.72467671 -44.280396 -41.520917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72460492--0.72467671) × R
    7.1790000000016e-05 × 6371000     		dl = 457.374090000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72460492--0.72467671) × R
    7.1790000000016e-05 × 6371000     		dr = 457.374090000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77293457--0.77283870) × cos(-0.72460492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748761355094071 × 6371000     		do = 457.334278340076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77293457--0.77283870) × cos(-0.72467671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748713767904448 × 6371000     		du = 457.305212666645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72460492)-sin(-0.72467671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748761355094071-0.748713767904448)×R²
    abs(-0.77283870--0.77293457)×4.75871896233881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75871896233881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75871896233881e-05×40589641000000     		ar = 209166.202528531m²