Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24708 / 41091
↖ ↑ ↗
← S 41.520917°
W 44.274902°		 ← 457.31 m → S 41.520917°
W 44.269409°		 →
↑
457.31 m
↓
↑
457.31 m
↓
S 41.525030°
W 44.274902°		 ← 457.28 m →
209 124 m²		 S 41.525030°
W 44.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377021789550781 y=0.627006530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377021789550781 × 216)
    floor (0.377021789550781 × 65536)
    floor (24708.5)     		tx = 24708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627006530761719 × 216)
    floor (0.627006530761719 × 65536)
    floor (41091.5)     		ty = 41091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24708 / 41091 ti = "16/24708/41091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24708/41091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24708 ÷ 216
    24708 ÷ 65536     		x = 0.37701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41091 ÷ 216
    41091 ÷ 65536     		y = 0.626998901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.253997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.797957631075455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77274282} λ = -0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797957631075455))-π/2
    2×atan(0.450247597405151)-π/2
    2×0.423059809261751-π/2
    0.846119618523502-1.57079632675     		φ = -0.72467671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72467671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.520917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24708 KachelY 41091 -0.77274282 -0.72467671 -44.274902 -41.520917
    Oben rechts KachelX + 1 24709 KachelY 41091 -0.77264695 -0.72467671 -44.269409 -41.520917
    Unten links KachelX 24708 KachelY + 1 41092 -0.77274282 -0.72474849 -44.274902 -41.525030
    Unten rechts KachelX + 1 24709 KachelY + 1 41092 -0.77264695 -0.72474849 -44.269409 -41.525030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72467671--0.72474849) × R
    7.17799999999658e-05 × 6371000     		dl = 457.310379999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72467671--0.72474849) × R
    7.17799999999658e-05 × 6371000     		dr = 457.310379999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77274282--0.77264695) × cos(-0.72467671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748713767904448 × 6371000     		do = 457.305212666645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77274282--0.77264695) × cos(-0.72474849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748666183485572 × 6371000     		du = 457.276148685554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72467671)-sin(-0.72474849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748713767904448-0.748666183485572)×R²
    abs(-0.77264695--0.77274282)×4.75844188757568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75844188757568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75844188757568e-05×40589641000000     		ar = 209123.775039862m²