Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24710 / 41094
↖ ↑ ↗
← S 41.533254°
W 44.263916°		 ← 457.22 m → S 41.533254°
W 44.258423°		 →
↑
457.25 m
↓
↑
457.25 m
↓
S 41.537366°
W 44.263916°		 ← 457.19 m →
209 055 m²		 S 41.537366°
W 44.258423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377052307128906 y=0.627052307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377052307128906 × 216)
    floor (0.377052307128906 × 65536)
    floor (24710.5)     		tx = 24710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627052307128906 × 216)
    floor (0.627052307128906 × 65536)
    floor (41094.5)     		ty = 41094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24710 / 41094 ti = "16/24710/41094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24710/41094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24710 ÷ 216
    24710 ÷ 65536     		x = 0.377044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41094 ÷ 216
    41094 ÷ 65536     		y = 0.627044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.25408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.798245252473175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77255107} λ = -0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798245252473175))-π/2
    2×atan(0.450118115183686)-π/2
    2×0.422952146476155-π/2
    0.84590429295231-1.57079632675     		φ = -0.72489203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72489203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.533254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24710 KachelY 41094 -0.77255107 -0.72489203 -44.263916 -41.533254
    Oben rechts KachelX + 1 24711 KachelY 41094 -0.77245520 -0.72489203 -44.258423 -41.533254
    Unten links KachelX 24710 KachelY + 1 41095 -0.77255107 -0.72496380 -44.263916 -41.537366
    Unten rechts KachelX + 1 24711 KachelY + 1 41095 -0.77245520 -0.72496380 -44.258423 -41.537366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72489203--0.72496380) × R
    7.17700000000265e-05 × 6371000     		dl = 457.246670000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72489203--0.72496380) × R
    7.17700000000265e-05 × 6371000     		dr = 457.246670000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77255107--0.77245520) × cos(-0.72489203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748571016336947 × 6371000     		do = 457.218021755067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77255107--0.77245520) × cos(-0.72496380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748523426978752 × 6371000     		du = 457.1889547571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72489203)-sin(-0.72496380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748571016336947-0.748523426978752)×R²
    abs(-0.77245520--0.77255107)×4.75893581941556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75893581941556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75893581941556e-05×40589641000000     		ar = 209054.772607236m²