Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24714 / 41098
↖ ↑ ↗
← S 41.549700°
W 44.241943°		 ← 457.10 m → S 41.549700°
W 44.236450°		 →
↑
457.12 m
↓
↑
457.12 m
↓
S 41.553811°
W 44.241943°		 ← 457.07 m →
208 943 m²		 S 41.553811°
W 44.236450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377113342285156 y=0.627113342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377113342285156 × 216)
    floor (0.377113342285156 × 65536)
    floor (24714.5)     		tx = 24714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627113342285156 × 216)
    floor (0.627113342285156 × 65536)
    floor (41098.5)     		ty = 41098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24714 / 41098 ti = "16/24714/41098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24714/41098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24714 ÷ 216
    24714 ÷ 65536     		x = 0.377105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41098 ÷ 216
    41098 ÷ 65536     		y = 0.627105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.24578857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77216758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.25421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.798628747670135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77216758} λ = -0.77216758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798628747670135))-π/2
    2×atan(0.44994553014333)-π/2
    2×0.422808628031524-π/2
    0.845617256063048-1.57079632675     		φ = -0.72517907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77216758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.241943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72517907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.549700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24714 KachelY 41098 -0.77216758 -0.72517907 -44.241943 -41.549700
    Oben rechts KachelX + 1 24715 KachelY 41098 -0.77207171 -0.72517907 -44.236450 -41.549700
    Unten links KachelX 24714 KachelY + 1 41099 -0.77216758 -0.72525082 -44.241943 -41.553811
    Unten rechts KachelX + 1 24715 KachelY + 1 41099 -0.77207171 -0.72525082 -44.236450 -41.553811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72517907--0.72525082) × R
    7.1749999999926e-05 × 6371000     		dl = 457.119249999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72517907--0.72525082) × R
    7.1749999999926e-05 × 6371000     		dr = 457.119249999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77216758--0.77207171) × cos(-0.72517907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748380662302366 × 6371000     		do = 457.101755838775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77216758--0.77207171) × cos(-0.72525082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748333070791879 × 6371000     		du = 457.072687526214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72517907)-sin(-0.72525082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748380662302366-0.748333070791879)×R²
    abs(-0.77207171--0.77216758)×4.7591510487055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7591510487055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7591510487055e-05×40589641000000     		ar = 208943.368049655m²