Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24716 / 41100
↖ ↑ ↗
← S 41.557921°
W 44.230957°		 ← 457.04 m → S 41.557921°
W 44.225464°		 →
↑
457.06 m
↓
↑
457.06 m
↓
S 41.562032°
W 44.230957°		 ← 457.01 m →
208 888 m²		 S 41.562032°
W 44.225464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377143859863281 y=0.627143859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377143859863281 × 216)
    floor (0.377143859863281 × 65536)
    floor (24716.5)     		tx = 24716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627143859863281 × 216)
    floor (0.627143859863281 × 65536)
    floor (41100.5)     		ty = 41100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24716 / 41100 ti = "16/24716/41100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24716/41100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24716 ÷ 216
    24716 ÷ 65536     		x = 0.37713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41100 ÷ 216
    41100 ÷ 65536     		y = 0.62713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.2542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.798820495268616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77197583} λ = -0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798820495268616))-π/2
    2×atan(0.449859262439555)-π/2
    2×0.422736882496851-π/2
    0.845473764993702-1.57079632675     		φ = -0.72532256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72532256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.557921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24716 KachelY 41100 -0.77197583 -0.72532256 -44.230957 -41.557921
    Oben rechts KachelX + 1 24717 KachelY 41100 -0.77187996 -0.72532256 -44.225464 -41.557921
    Unten links KachelX 24716 KachelY + 1 41101 -0.77197583 -0.72539430 -44.230957 -41.562032
    Unten rechts KachelX + 1 24717 KachelY + 1 41101 -0.77187996 -0.72539430 -44.225464 -41.562032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72532256--0.72539430) × R
    7.17400000000978e-05 × 6371000     		dl = 457.055540000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72532256--0.72539430) × R
    7.17400000000978e-05 × 6371000     		dr = 457.055540000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77197583--0.77187996) × cos(-0.72532256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748285482062695 × 6371000     		do = 457.043620912439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77197583--0.77187996) × cos(-0.72539430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.748237889482365 × 6371000     		du = 457.01455194643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72532256)-sin(-0.72539430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748285482062695-0.748237889482365)×R²
    abs(-0.77187996--0.77197583)×4.75925803308241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75925803308241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75925803308241e-05×40589641000000     		ar = 208887.675983487m²