Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24728 / 41080
↖ ↑ ↗
← S 41.475660°
W 44.165039°		 ← 457.67 m → S 41.475660°
W 44.159546°		 →
↑
457.63 m
↓
↑
457.63 m
↓
S 41.479776°
W 44.165039°		 ← 457.64 m →
209 438 m²		 S 41.479776°
W 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377326965332031 y=0.626838684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377326965332031 × 216)
    floor (0.377326965332031 × 65536)
    floor (24728.5)     		tx = 24728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626838684082031 × 216)
    floor (0.626838684082031 × 65536)
    floor (41080.5)     		ty = 41080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24728 / 41080 ti = "16/24728/41080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24728/41080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24728 ÷ 216
    24728 ÷ 65536     		x = 0.3773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41080 ÷ 216
    41080 ÷ 65536     		y = 0.6268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.253662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.796903019283813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77082535} λ = -0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796903019283813))-π/2
    2×atan(0.450722684302621)-π/2
    2×0.423454748439368-π/2
    0.846909496878736-1.57079632675     		φ = -0.72388683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72388683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.475660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24728 KachelY 41080 -0.77082535 -0.72388683 -44.165039 -41.475660
    Oben rechts KachelX + 1 24729 KachelY 41080 -0.77072947 -0.72388683 -44.159546 -41.475660
    Unten links KachelX 24728 KachelY + 1 41081 -0.77082535 -0.72395866 -44.165039 -41.479776
    Unten rechts KachelX + 1 24729 KachelY + 1 41081 -0.77072947 -0.72395866 -44.159546 -41.479776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72388683--0.72395866) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dl = 457.628929999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72388683--0.72395866) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dr = 457.628929999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77082535--0.77072947) × cos(-0.72388683) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749237140543895 × 6371000     		do = 457.672616171906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77082535--0.77072947) × cos(-0.72395866) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.749189565470993 × 6371000     		du = 457.643554868213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72388683)-sin(-0.72395866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749237140543895-0.749189565470993)×R²
    abs(-0.77072947--0.77082535)×4.75750729025393e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75750729025393e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75750729025393e-05×40589641000000     		ar = 209437.580072729m²