Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24735 / 41119
↖ ↑ ↗
← S 41.635973°
W 44.126587°		 ← 456.49 m → S 41.635973°
W 44.121094°		 →
↑
456.48 m
↓
↑
456.48 m
↓
S 41.640078°
W 44.126587°		 ← 456.46 m →
208 373 m²		 S 41.640078°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377433776855469 y=0.627433776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377433776855469 × 216)
    floor (0.377433776855469 × 65536)
    floor (24735.5)     		tx = 24735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627433776855469 × 216)
    floor (0.627433776855469 × 65536)
    floor (41119.5)     		ty = 41119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24735 / 41119 ti = "16/24735/41119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24735/41119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24735 ÷ 216
    24735 ÷ 65536     		x = 0.377426147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41119 ÷ 216
    41119 ÷ 65536     		y = 0.627426147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377426147460938 × 2 - 1) × π
    -0.245147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77015423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627426147460938 × 2 - 1) × π
    -0.254852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.800642097454178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77015423} λ = -0.77015423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800642097454178))-π/2
    2×atan(0.449040543740178)-π/2
    2×0.422055755097048-π/2
    0.844111510194095-1.57079632675     		φ = -0.72668482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77015423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.126587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72668482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.635973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24735 KachelY 41119 -0.77015423 -0.72668482 -44.126587 -41.635973
    Oben rechts KachelX + 1 24736 KachelY 41119 -0.77005836 -0.72668482 -44.121094 -41.635973
    Unten links KachelX 24735 KachelY + 1 41120 -0.77015423 -0.72675647 -44.126587 -41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 24736 KachelY + 1 41120 -0.77005836 -0.72675647 -44.121094 -41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72668482--0.72675647) × R
    7.16499999999787e-05 × 6371000     		dl = 456.482149999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72668482--0.72675647) × R
    7.16499999999787e-05 × 6371000     		dr = 456.482149999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77015423--0.77005836) × cos(-0.72668482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747381096286361 × 6371000     		do = 456.491233140892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77015423--0.77005836) × cos(-0.72675647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 456.462156062456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72668482)-sin(-0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747381096286361-0.747333490424122)×R²
    abs(-0.77005836--0.77015423)×4.76058622392861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76058622392861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76058622392861e-05×40589641000000     		ar = 208373.463065929m²