Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24736 / 41120
↖ ↑ ↗
← S 41.640078°
W 44.121094°		 ← 456.51 m → S 41.640078°
W 44.115600°		 →
↑
456.48 m
↓
↑
456.48 m
↓
S 41.644184°
W 44.121094°		 ← 456.48 m →
208 382 m²		 S 41.644184°
W 44.115600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377449035644531 y=0.627449035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377449035644531 × 216)
    floor (0.377449035644531 × 65536)
    floor (24736.5)     		tx = 24736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627449035644531 × 216)
    floor (0.627449035644531 × 65536)
    floor (41120.5)     		ty = 41120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24736 / 41120 ti = "16/24736/41120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24736/41120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24736 ÷ 216
    24736 ÷ 65536     		x = 0.37744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41120 ÷ 216
    41120 ÷ 65536     		y = 0.62744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77005836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.800737971253418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77005836} λ = -0.77005836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800737971253418))-π/2
    2×atan(0.448997494580913)-π/2
    2×0.422019929105416-π/2
    0.844039858210832-1.57079632675     		φ = -0.72675647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77005836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72675647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.640078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24736 KachelY 41120 -0.77005836 -0.72675647 -44.121094 -41.640078
    Oben rechts KachelX + 1 24737 KachelY 41120 -0.76996248 -0.72675647 -44.115600 -41.640078
    Unten links KachelX 24736 KachelY + 1 41121 -0.77005836 -0.72682812 -44.121094 -41.644184
    Unten rechts KachelX + 1 24737 KachelY + 1 41121 -0.76996248 -0.72682812 -44.115600 -41.644184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72675647--0.72682812) × R
    7.16499999999787e-05 × 6371000     		dl = 456.482149999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72675647--0.72682812) × R
    7.16499999999787e-05 × 6371000     		dr = 456.482149999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77005836--0.76996248) × cos(-0.72675647) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.747333490424122 × 6371000     		do = 456.50976867937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77005836--0.76996248) × cos(-0.72682812) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.74728588072528 × 6371000     		du = 456.48068622437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72675647)-sin(-0.72682812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747333490424122-0.74728588072528)×R²
    abs(-0.76996248--0.77005836)×4.76096988420993e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76096988420993e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76096988420993e-05×40589641000000     		ar = 208381.922981087m²