Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24740 / 41124
↖ ↑ ↗
← S 41.656497°
W 44.099121°		 ← 456.35 m → S 41.656497°
W 44.093628°		 →
↑
456.35 m
↓
↑
456.35 m
↓
S 41.660601°
W 44.099121°		 ← 456.32 m →
208 249 m²		 S 41.660601°
W 44.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377510070800781 y=0.627510070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377510070800781 × 216)
    floor (0.377510070800781 × 65536)
    floor (24740.5)     		tx = 24740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627510070800781 × 216)
    floor (0.627510070800781 × 65536)
    floor (41124.5)     		ty = 41124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24740 / 41124 ti = "16/24740/41124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24740/41124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24740 ÷ 216
    24740 ÷ 65536     		x = 0.37750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41124 ÷ 216
    41124 ÷ 65536     		y = 0.62750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801121466450378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76967486} λ = -0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801121466450378))-π/2
    2×atan(0.448825339210782)-π/2
    2×0.421876647960872-π/2
    0.843753295921744-1.57079632675     		φ = -0.72704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24740 KachelY 41124 -0.76967486 -0.72704303 -44.099121 -41.656497
    Oben rechts KachelX + 1 24741 KachelY 41124 -0.76957899 -0.72704303 -44.093628 -41.656497
    Unten links KachelX 24740 KachelY + 1 41125 -0.76967486 -0.72711466 -44.099121 -41.660601
    Unten rechts KachelX + 1 24741 KachelY + 1 41125 -0.76957899 -0.72711466 -44.093628 -41.660601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72704303--0.72711466) × R
    7.16299999999892e-05 × 6371000     		dl = 456.354729999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72704303--0.72711466) × R
    7.16299999999892e-05 × 6371000     		dr = 456.354729999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76967486--0.76957899) × cos(-0.72704303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747143055198113 × 6371000     		do = 456.345840555432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76967486--0.76957899) × cos(-0.72711466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747095443451781 × 6371000     		du = 456.316759883064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72704303)-sin(-0.72711466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747143055198113-0.747095443451781)×R²
    abs(-0.76957899--0.76967486)×4.76117463317216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76117463317216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76117463317216e-05×40589641000000     		ar = 208248.947391063m²