Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24769 / 41151
↖ ↑ ↗
← S 41.767215°
W 43.939819°		 ← 455.56 m → S 41.767215°
W 43.934326°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
S 41.771312°
W 43.939819°		 ← 455.53 m →
207 513 m²		 S 41.771312°
W 43.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377952575683594 y=0.627922058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377952575683594 × 216)
    floor (0.377952575683594 × 65536)
    floor (24769.5)     		tx = 24769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627922058105469 × 216)
    floor (0.627922058105469 × 65536)
    floor (41151.5)     		ty = 41151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24769 / 41151 ti = "16/24769/41151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24769/41151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24769 ÷ 216
    24769 ÷ 65536     		x = 0.377944946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41151 ÷ 216
    41151 ÷ 65536     		y = 0.627914428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377944946289062 × 2 - 1) × π
    -0.244110107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76689452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627914428710938 × 2 - 1) × π
    -0.255828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.803710059029861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76689452} λ = -0.76689452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803710059029861))-π/2
    2×atan(0.447665015718534)-π/2
    2×0.420910455505353-π/2
    0.841820911010706-1.57079632675     		φ = -0.72897542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76689452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.939819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72897542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.767215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24769 KachelY 41151 -0.76689452 -0.72897542 -43.939819 -41.767215
    Oben rechts KachelX + 1 24770 KachelY 41151 -0.76679865 -0.72897542 -43.934326 -41.767215
    Unten links KachelX 24769 KachelY + 1 41152 -0.76689452 -0.72904692 -43.939819 -41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 24770 KachelY + 1 41152 -0.76679865 -0.72904692 -43.934326 -41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72897542--0.72904692) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72897542--0.72904692) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76689452--0.76679865) × cos(-0.72897542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745857272387296 × 6371000     		do = 455.560500139709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76689452--0.76679865) × cos(-0.72904692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 455.531409252267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72897542)-sin(-0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745857272387296-0.745809643916539)×R²
    abs(-0.76679865--0.76689452)×4.76284707576768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76284707576768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76284707576768e-05×40589641000000     		ar = 207513.254420162m²