Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24830 / 41222
↖ ↑ ↗
← S 42.057450°
W 43.604736°		 ← 453.54 m → S 42.057450°
W 43.599243°		 →
↑
453.49 m
↓
↑
453.49 m
↓
S 42.061528°
W 43.604736°		 ← 453.51 m →
205 669 m²		 S 42.061528°
W 43.599243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378883361816406 y=0.629005432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378883361816406 × 216)
    floor (0.378883361816406 × 65536)
    floor (24830.5)     		tx = 24830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629005432128906 × 216)
    floor (0.629005432128906 × 65536)
    floor (41222.5)     		ty = 41222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24830 / 41222 ti = "16/24830/41222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24830/41222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24830 ÷ 216
    24830 ÷ 65536     		x = 0.378875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41222 ÷ 216
    41222 ÷ 65536     		y = 0.628997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76104622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.25799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.810517098775909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76104622} λ = -0.76104622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810517098775909))-π/2
    2×atan(0.444628090126747)-π/2
    2×0.418377672737588-π/2
    0.836755345475176-1.57079632675     		φ = -0.73404098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76104622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73404098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.057450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24830 KachelY 41222 -0.76104622 -0.73404098 -43.604736 -42.057450
    Oben rechts KachelX + 1 24831 KachelY 41222 -0.76095034 -0.73404098 -43.599243 -42.057450
    Unten links KachelX 24830 KachelY + 1 41223 -0.76104622 -0.73411216 -43.604736 -42.061528
    Unten rechts KachelX + 1 24831 KachelY + 1 41223 -0.76095034 -0.73411216 -43.599243 -42.061528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73404098--0.73411216) × R
    7.11800000000595e-05 × 6371000     		dl = 453.487780000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73404098--0.73411216) × R
    7.11800000000595e-05 × 6371000     		dr = 453.487780000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76104622--0.76095034) × cos(-0.73404098) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.742473518659722 × 6371000     		do = 453.541047734326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76104622--0.76095034) × cos(-0.73411216) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.742425835046686 × 6371000     		du = 453.511920128732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73404098)-sin(-0.73411216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742473518659722-0.742425835046686)×R²
    abs(-0.76095034--0.76104622)×4.76836130359759e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76836130359759e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76836130359759e-05×40589641000000     		ar = 205668.718456091m²