Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24831 / 8447
↖ ↑ ↗
← N 65.371416°
E 92.801513°		 ← 509.10 m → N 65.371416°
E 92.812500°		 →
↑
509.11 m
↓
↑
509.11 m
↓
N 65.366837°
E 92.801513°		 ← 509.19 m →
259 208 m²		 N 65.366837°
E 92.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757797241210938 y=0.257797241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757797241210938 × 215)
    floor (0.757797241210938 × 32768)
    floor (24831.5)     		tx = 24831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257797241210938 × 215)
    floor (0.257797241210938 × 32768)
    floor (8447.5)     		ty = 8447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24831 / 8447 ti = "15/24831/8447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24831/8447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24831 ÷ 215
    24831 ÷ 32768     		x = 0.757781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8447 ÷ 215
    8447 ÷ 32768     		y = 0.257781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757781982421875 × 2 - 1) × π
    0.51556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.61969196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257781982421875 × 2 - 1) × π
    0.48443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52190068913754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61969196} λ = 1.61969196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52190068913754))-π/2
    2×atan(4.58092383799422)-π/2
    2×1.35587138346805-π/2
    2.71174276693609-1.57079632675     		φ = 1.14094644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61969196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.801513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14094644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.371416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24831 KachelY 8447 1.61969196 1.14094644 92.801513 65.371416
    Oben rechts KachelX + 1 24832 KachelY 8447 1.61988371 1.14094644 92.812500 65.371416
    Unten links KachelX 24831 KachelY + 1 8448 1.61969196 1.14086653 92.801513 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 24832 KachelY + 1 8448 1.61988371 1.14086653 92.812500 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14094644-1.14086653) × R
    7.99099999999608e-05 × 6371000     		dl = 509.106609999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14094644-1.14086653) × R
    7.99099999999608e-05 × 6371000     		dr = 509.106609999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61969196-1.61988371) × cos(1.14094644) × R
    0.000191750000000157 × 0.416734349970832 × 6371000     		do = 509.099038748022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61969196-1.61988371) × cos(1.14086653) × R
    0.000191750000000157 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 509.187777550791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14094644)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416734349970832-0.416806989093035)×R²
    abs(1.61988371-1.61969196)×7.26391222026224e-05×R²
    0.000191750000000157×7.26391222026224e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.26391222026224e-05×40589641000000     		ar = 259208.274665292m²