Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24832 / 57600
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
W 43.593750°		 ← 112.02 m → S 79.432371°
W 43.588257°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 79.433378°
W 43.593750°		 ← 112.01 m →
12 545 m²		 S 79.433378°
W 43.588257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378913879394531 y=0.878913879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378913879394531 × 216)
    floor (0.378913879394531 × 65536)
    floor (24832.5)     		tx = 24832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878913879394531 × 216)
    floor (0.878913879394531 × 65536)
    floor (57600.5)     		ty = 57600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24832 / 57600 ti = "16/24832/57600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24832/57600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24832 ÷ 216
    24832 ÷ 65536     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57600 ÷ 216
    57600 ÷ 65536     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24832 KachelY 57600 -0.76085447 -1.38635640 -43.593750 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 24833 KachelY 57600 -0.76075860 -1.38635640 -43.588257 -79.432371
    Unten links KachelX 24832 KachelY + 1 57601 -0.76085447 -1.38637398 -43.593750 -79.433378
    Unten rechts KachelX + 1 24833 KachelY + 1 57601 -0.76075860 -1.38637398 -43.588257 -79.433378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38637398) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38637398) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76075860) × cos(-1.38635640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 112.016026812418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76075860) × cos(-1.38637398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183378706594094 × 6371000     		du = 112.005471266089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38637398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183378706594094)×R²
    abs(-0.76075860--0.76085447)×1.72818560682519e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72818560682519e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72818560682519e-05×40589641000000     		ar = 12545.4480761863m²