Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24832 / 8448
↖ ↑ ↗
← N 65.366837°
E 92.812500°		 ← 509.19 m → N 65.366837°
E 92.823486°		 →
↑
509.23 m
↓
↑
509.23 m
↓
N 65.362258°
E 92.812500°		 ← 509.28 m →
259 318 m²		 N 65.362258°
E 92.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757827758789062 y=0.257827758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757827758789062 × 215)
    floor (0.757827758789062 × 32768)
    floor (24832.5)     		tx = 24832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257827758789062 × 215)
    floor (0.257827758789062 × 32768)
    floor (8448.5)     		ty = 8448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24832 / 8448 ti = "15/24832/8448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24832/8448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24832 ÷ 215
    24832 ÷ 32768     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8448 ÷ 215
    8448 ÷ 32768     		y = 0.2578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2578125 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52170894153906))-π/2
    2×atan(4.58004554105781)-π/2
    2×1.35583142608043-π/2
    2.71166285216086-1.57079632675     		φ = 1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24832 KachelY 8448 1.61988371 1.14086653 92.812500 65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 24833 KachelY 8448 1.62007546 1.14086653 92.823486 65.366837
    Unten links KachelX 24832 KachelY + 1 8449 1.61988371 1.14078660 92.812500 65.362258
    Unten rechts KachelX + 1 24833 KachelY + 1 8449 1.62007546 1.14078660 92.823486 65.362258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14086653-1.14078660) × R
    7.99300000000613e-05 × 6371000     		dl = 509.234030000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14086653-1.14078660) × R
    7.99300000000613e-05 × 6371000     		dr = 509.234030000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62007546) × cos(1.14086653) × R
    0.000191749999999935 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 509.187777550201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62007546) × cos(1.14078660) × R
    0.000191749999999935 × 0.416879643732906 × 6371000     		du = 509.276535309961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14086653)-sin(1.14078660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.416879643732906)×R²
    abs(1.62007546-1.61988371)×7.26546398706063e-05×R²
    0.000191749999999935×7.26546398706063e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.26546398706063e-05×40589641000000     		ar = 259318.343362331m²