Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24833 / 41729
↖ ↑ ↗
← S 44.091531°
W 43.588257°		 ← 438.73 m → S 44.091531°
W 43.582763°		 →
↑
438.71 m
↓
↑
438.71 m
↓
S 44.095476°
W 43.588257°		 ← 438.70 m →
192 468 m²		 S 44.095476°
W 43.582763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378929138183594 y=0.636741638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378929138183594 × 216)
    floor (0.378929138183594 × 65536)
    floor (24833.5)     		tx = 24833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636741638183594 × 216)
    floor (0.636741638183594 × 65536)
    floor (41729.5)     		ty = 41729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24833 / 41729 ti = "16/24833/41729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24833/41729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24833 ÷ 216
    24833 ÷ 65536     		x = 0.378921508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41729 ÷ 216
    41729 ÷ 65536     		y = 0.636734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378921508789062 × 2 - 1) × π
    -0.242156982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76075860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636734008789062 × 2 - 1) × π
    -0.273468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859125114990646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76075860} λ = -0.76075860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859125114990646))-π/2
    2×atan(0.423532462476495)-π/2
    2×0.400626973580803-π/2
    0.801253947161606-1.57079632675     		φ = -0.76954238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76075860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.588257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76954238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.091531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24833 KachelY 41729 -0.76075860 -0.76954238 -43.588257 -44.091531
    Oben rechts KachelX + 1 24834 KachelY 41729 -0.76066272 -0.76954238 -43.582763 -44.091531
    Unten links KachelX 24833 KachelY + 1 41730 -0.76075860 -0.76961124 -43.588257 -44.095476
    Unten rechts KachelX + 1 24834 KachelY + 1 41730 -0.76066272 -0.76961124 -43.582763 -44.095476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76954238--0.76961124) × R
    6.88600000000594e-05 × 6371000     		dl = 438.707060000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76954238--0.76961124) × R
    6.88600000000594e-05 × 6371000     		dr = 438.707060000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76075860--0.76066272) × cos(-0.76954238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		do = 438.731345265125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76075860--0.76066272) × cos(-0.76961124) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.718181244889019 × 6371000     		du = 438.702076348412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76954238)-sin(-0.76961124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718229159836713-0.718181244889019)×R²
    abs(-0.76066272--0.76075860)×4.79149476939611e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79149476939611e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79149476939611e-05×40589641000000     		ar = 192468.118447465m²