Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24834 / 41218
↖ ↑ ↗
← S 42.041134°
W 43.582763°		 ← 453.61 m → S 42.041134°
W 43.577271°		 →
↑
453.62 m
↓
↑
453.62 m
↓
S 42.045213°
W 43.582763°		 ← 453.58 m →
205 758 m²		 S 42.045213°
W 43.577271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378944396972656 y=0.628944396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378944396972656 × 216)
    floor (0.378944396972656 × 65536)
    floor (24834.5)     		tx = 24834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628944396972656 × 216)
    floor (0.628944396972656 × 65536)
    floor (41218.5)     		ty = 41218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24834 / 41218 ti = "16/24834/41218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24834/41218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24834 ÷ 216
    24834 ÷ 65536     		x = 0.378936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41218 ÷ 216
    41218 ÷ 65536     		y = 0.628936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.24212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76066272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.25787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.810133603578949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76066272} λ = -0.76066272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810133603578949))-π/2
    2×atan(0.444798635563332)-π/2
    2×0.418520058537879-π/2
    0.837040117075757-1.57079632675     		φ = -0.73375621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76066272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.582763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73375621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.041134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24834 KachelY 41218 -0.76066272 -0.73375621 -43.582763 -42.041134
    Oben rechts KachelX + 1 24835 KachelY 41218 -0.76056685 -0.73375621 -43.577271 -42.041134
    Unten links KachelX 24834 KachelY + 1 41219 -0.76066272 -0.73382741 -43.582763 -42.045213
    Unten rechts KachelX + 1 24835 KachelY + 1 41219 -0.76056685 -0.73382741 -43.577271 -42.045213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73375621--0.73382741) × R
    7.1199999999938e-05 × 6371000     		dl = 453.615199999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73375621--0.73382741) × R
    7.1199999999938e-05 × 6371000     		dr = 453.615199999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76066272--0.76056685) × cos(-0.73375621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742664248974541 × 6371000     		do = 453.610240489875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76066272--0.76056685) × cos(-0.73382741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742616567018504 × 6371000     		du = 453.581116934278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73375621)-sin(-0.73382741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742664248974541-0.742616567018504)×R²
    abs(-0.76056685--0.76066272)×4.76819560371045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76819560371045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76819560371045e-05×40589641000000     		ar = 205757.894605118m²