Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24836 / 41220
↖ ↑ ↗
← S 42.049292°
W 43.571778°		 ← 453.60 m → S 42.049292°
W 43.566284°		 →
↑
453.62 m
↓
↑
453.62 m
↓
S 42.053372°
W 43.571778°		 ← 453.57 m →
205 753 m²		 S 42.053372°
W 43.566284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378974914550781 y=0.628974914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378974914550781 × 216)
    floor (0.378974914550781 × 65536)
    floor (24836.5)     		tx = 24836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628974914550781 × 216)
    floor (0.628974914550781 × 65536)
    floor (41220.5)     		ty = 41220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24836 / 41220 ti = "16/24836/41220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24836/41220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24836 ÷ 216
    24836 ÷ 65536     		x = 0.37896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41220 ÷ 216
    41220 ÷ 65536     		y = 0.62896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.810325351177429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76047098} λ = -0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.810325351177429))-π/2
    2×atan(0.44471335466962)-π/2
    2×0.418448861066198-π/2
    0.836897722132395-1.57079632675     		φ = -0.73389860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73389860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.049292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24836 KachelY 41220 -0.76047098 -0.73389860 -43.571778 -42.049292
    Oben rechts KachelX + 1 24837 KachelY 41220 -0.76037510 -0.73389860 -43.566284 -42.049292
    Unten links KachelX 24836 KachelY + 1 41221 -0.76047098 -0.73396980 -43.571778 -42.053372
    Unten rechts KachelX + 1 24837 KachelY + 1 41221 -0.76037510 -0.73396980 -43.566284 -42.053372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73389860--0.73396980) × R
    7.1200000000049e-05 × 6371000     		dl = 453.615200000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73389860--0.73396980) × R
    7.1200000000049e-05 × 6371000     		dr = 453.615200000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76047098--0.76037510) × cos(-0.73389860) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.742568887995514 × 6371000     		do = 453.599304234242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76047098--0.76037510) × cos(-0.73396980) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.742521198510947 × 6371000     		du = 453.570173042013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73389860)-sin(-0.73396980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742568887995514-0.742521198510947)×R²
    abs(-0.76037510--0.76047098)×4.76894845670151e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76894845670151e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76894845670151e-05×40589641000000     		ar = 205752.932021391m²