Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24838 / 41214
↖ ↑ ↗
← S 42.024813°
W 43.560791°		 ← 453.77 m → S 42.024813°
W 43.555298°		 →
↑
453.74 m
↓
↑
453.74 m
↓
S 42.028894°
W 43.560791°		 ← 453.74 m →
205 890 m²		 S 42.028894°
W 43.555298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379005432128906 y=0.628883361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379005432128906 × 216)
    floor (0.379005432128906 × 65536)
    floor (24838.5)     		tx = 24838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628883361816406 × 216)
    floor (0.628883361816406 × 65536)
    floor (41214.5)     		ty = 41214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24838 / 41214 ti = "16/24838/41214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24838/41214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24838 ÷ 216
    24838 ÷ 65536     		x = 0.378997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41214 ÷ 216
    41214 ÷ 65536     		y = 0.628875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.24200439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76027923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.25775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.809750108381989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76027923} λ = -0.76027923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809750108381989))-π/2
    2×atan(0.444969246415816)-π/2
    2×0.418662480909376-π/2
    0.837324961818752-1.57079632675     		φ = -0.73347136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76027923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.560791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73347136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.024813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24838 KachelY 41214 -0.76027923 -0.73347136 -43.560791 -42.024813
    Oben rechts KachelX + 1 24839 KachelY 41214 -0.76018335 -0.73347136 -43.555298 -42.024813
    Unten links KachelX 24838 KachelY + 1 41215 -0.76027923 -0.73354258 -43.560791 -42.028894
    Unten rechts KachelX + 1 24839 KachelY + 1 41215 -0.76018335 -0.73354258 -43.555298 -42.028894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73347136--0.73354258) × R
    7.12200000000385e-05 × 6371000     		dl = 453.742620000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73347136--0.73354258) × R
    7.12200000000385e-05 × 6371000     		dr = 453.742620000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76027923--0.76018335) × cos(-0.73347136) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.742854972619975 × 6371000     		do = 453.774059449973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76027923--0.76018335) × cos(-0.73354258) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.742807292337494 × 6371000     		du = 453.744933878853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73347136)-sin(-0.73354258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742854972619975-0.742807292337494)×R²
    abs(-0.76018335--0.76027923)×4.76802824808109e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76802824808109e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76802824808109e-05×40589641000000     		ar = 205890.022953173m²