Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24840 / 40712
↖ ↑ ↗
← S 39.943436°
W 43.549805°		 ← 468.28 m → S 39.943436°
W 43.544312°		 →
↑
468.27 m
↓
↑
468.27 m
↓
S 39.947648°
W 43.549805°		 ← 468.25 m →
219 273 m²		 S 39.947648°
W 43.544312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379035949707031 y=0.621223449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379035949707031 × 216)
    floor (0.379035949707031 × 65536)
    floor (24840.5)     		tx = 24840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621223449707031 × 216)
    floor (0.621223449707031 × 65536)
    floor (40712.5)     		ty = 40712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24840 / 40712 ti = "16/24840/40712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24840/40712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24840 ÷ 216
    24840 ÷ 65536     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40712 ÷ 216
    40712 ÷ 65536     		y = 0.6212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.761621461163452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761621461163452))-π/2
    2×atan(0.466908738508307)-π/2
    2×0.436825922994491-π/2
    0.873651845988981-1.57079632675     		φ = -0.69714448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69714448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.943436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24840 KachelY 40712 -0.76008748 -0.69714448 -43.549805 -39.943436
    Oben rechts KachelX + 1 24841 KachelY 40712 -0.75999161 -0.69714448 -43.544312 -39.943436
    Unten links KachelX 24840 KachelY + 1 40713 -0.76008748 -0.69721798 -43.549805 -39.947648
    Unten rechts KachelX + 1 24841 KachelY + 1 40713 -0.75999161 -0.69721798 -43.544312 -39.947648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69714448--0.69721798) × R
    7.35000000000596e-05 × 6371000     		dl = 468.26850000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69714448--0.69721798) × R
    7.35000000000596e-05 × 6371000     		dr = 468.26850000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75999161) × cos(-0.69714448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766678643017404 × 6371000     		do = 468.277938675216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75999161) × cos(-0.69721798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766631451664996 × 6371000     		du = 468.249114774315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69714448)-sin(-0.69721798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766678643017404-0.766631451664996)×R²
    abs(-0.75999161--0.76008748)×4.71913524079381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71913524079381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71913524079381e-05×40589641000000     		ar = 219273.059362813m²