Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24840 / 41224
↖ ↑ ↗
← S 42.065607°
W 43.549805°		 ← 453.44 m → S 42.065607°
W 43.544312°		 →
↑
453.42 m
↓
↑
453.42 m
↓
S 42.069685°
W 43.549805°		 ← 453.41 m →
205 592 m²		 S 42.069685°
W 43.544312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379035949707031 y=0.629035949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379035949707031 × 216)
    floor (0.379035949707031 × 65536)
    floor (24840.5)     		tx = 24840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629035949707031 × 216)
    floor (0.629035949707031 × 65536)
    floor (41224.5)     		ty = 41224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24840 / 41224 ti = "16/24840/41224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24840/41224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24840 ÷ 216
    24840 ÷ 65536     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41224 ÷ 216
    41224 ÷ 65536     		y = 0.6290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.81070884637439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81070884637439))-π/2
    2×atan(0.444542841931578)-π/2
    2×0.418306493552318-π/2
    0.836612987104637-1.57079632675     		φ = -0.73418334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73418334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.065607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24840 KachelY 41224 -0.76008748 -0.73418334 -43.549805 -42.065607
    Oben rechts KachelX + 1 24841 KachelY 41224 -0.75999161 -0.73418334 -43.544312 -42.065607
    Unten links KachelX 24840 KachelY + 1 41225 -0.76008748 -0.73425451 -43.549805 -42.069685
    Unten rechts KachelX + 1 24841 KachelY + 1 41225 -0.75999161 -0.73425451 -43.544312 -42.069685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73418334--0.73425451) × R
    7.11700000000093e-05 × 6371000     		dl = 453.424070000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73418334--0.73425451) × R
    7.11700000000093e-05 × 6371000     		dr = 453.424070000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75999161) × cos(-0.73418334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742378147672081 × 6371000     		do = 453.435493313351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75999161) × cos(-0.73425451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742330463236488 × 6371000     		du = 453.406368243271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73418334)-sin(-0.73425451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742378147672081-0.742330463236488)×R²
    abs(-0.75999161--0.76008748)×4.76844355929984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76844355929984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76844355929984e-05×40589641000000     		ar = 205591.96394365m²