Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24847 / 41231
↖ ↑ ↗
← S 42.094146°
W 43.511352°		 ← 453.23 m → S 42.094146°
W 43.505859°		 →
↑
453.23 m
↓
↑
453.23 m
↓
S 42.098222°
W 43.511352°		 ← 453.20 m →
205 413 m²		 S 42.098222°
W 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379142761230469 y=0.629142761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379142761230469 × 216)
    floor (0.379142761230469 × 65536)
    floor (24847.5)     		tx = 24847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629142761230469 × 216)
    floor (0.629142761230469 × 65536)
    floor (41231.5)     		ty = 41231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24847 / 41231 ti = "16/24847/41231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24847/41231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24847 ÷ 216
    24847 ÷ 65536     		x = 0.379135131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41231 ÷ 216
    41231 ÷ 65536     		y = 0.629135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.241729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75941636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.258270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81137996296907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75941636} λ = -0.75941636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81137996296907))-π/2
    2×atan(0.444244601941408)-π/2
    2×0.418057438411541-π/2
    0.836114876823081-1.57079632675     		φ = -0.73468145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75941636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.511352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73468145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.094146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24847 KachelY 41231 -0.75941636 -0.73468145 -43.511352 -42.094146
    Oben rechts KachelX + 1 24848 KachelY 41231 -0.75932049 -0.73468145 -43.505859 -42.094146
    Unten links KachelX 24847 KachelY + 1 41232 -0.75941636 -0.73475259 -43.511352 -42.098222
    Unten rechts KachelX + 1 24848 KachelY + 1 41232 -0.75932049 -0.73475259 -43.505859 -42.098222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73468145--0.73475259) × R
    7.11400000000806e-05 × 6371000     		dl = 453.232940000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73468145--0.73475259) × R
    7.11400000000806e-05 × 6371000     		dr = 453.232940000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75941636--0.75932049) × cos(-0.73468145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742044331298839 × 6371000     		do = 453.231602355149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75941636--0.75932049) × cos(-0.73475259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741996640664448 × 6371000     		du = 453.20247349892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73468145)-sin(-0.73475259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742044331298839-0.741996640664448)×R²
    abs(-0.75932049--0.75941636)×4.76906343910288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76906343910288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76906343910288e-05×40589641000000     		ar = 205412.890644403m²