Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24872 / 41256
↖ ↑ ↗
← S 42.195969°
W 43.374024°		 ← 452.50 m → S 42.195969°
W 43.368531°		 →
↑
452.47 m
↓
↑
452.47 m
↓
S 42.200038°
W 43.374024°		 ← 452.47 m →
204 737 m²		 S 42.200038°
W 43.368531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379524230957031 y=0.629524230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379524230957031 × 216)
    floor (0.379524230957031 × 65536)
    floor (24872.5)     		tx = 24872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629524230957031 × 216)
    floor (0.629524230957031 × 65536)
    floor (41256.5)     		ty = 41256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24872 / 41256 ti = "16/24872/41256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24872/41256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24872 ÷ 216
    24872 ÷ 65536     		x = 0.3795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41256 ÷ 216
    41256 ÷ 65536     		y = 0.6295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.813776807950073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75701952} λ = -0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813776807950073))-π/2
    2×atan(0.443181091540834)-π/2
    2×0.417168870298557-π/2
    0.834337740597114-1.57079632675     		φ = -0.73645859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73645859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.195969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24872 KachelY 41256 -0.75701952 -0.73645859 -43.374024 -42.195969
    Oben rechts KachelX + 1 24873 KachelY 41256 -0.75692365 -0.73645859 -43.368531 -42.195969
    Unten links KachelX 24872 KachelY + 1 41257 -0.75701952 -0.73652961 -43.374024 -42.200038
    Unten rechts KachelX + 1 24873 KachelY + 1 41257 -0.75692365 -0.73652961 -43.368531 -42.200038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73645859--0.73652961) × R
    7.10199999999217e-05 × 6371000     		dl = 452.468419999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73645859--0.73652961) × R
    7.10199999999217e-05 × 6371000     		dr = 452.468419999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75701952--0.75692365) × cos(-0.73645859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740851852913124 × 6371000     		do = 452.503251141165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75701952--0.75692365) × cos(-0.73652961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.740804149150138 × 6371000     		du = 452.47411426615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73645859)-sin(-0.73652961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740851852913124-0.740804149150138)×R²
    abs(-0.75692365--0.75701952)×4.77037629861288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77037629861288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77037629861288e-05×40589641000000     		ar = 204736.839416348m²