Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24895 / 41279
S 42.289501°
W 43.247681°
← 451.83 m → S 42.289501°
W 43.242188°

451.83 m

451.83 m
S 42.293564°
W 43.247681°
← 451.80 m →
204 146 m²
S 42.293564°
W 43.242188°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379875183105469 y=0.629875183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379875183105469 × 216)
    floor (0.379875183105469 × 65536)
    floor (24895.5)
    tx = 24895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629875183105469 × 216)
    floor (0.629875183105469 × 65536)
    floor (41279.5)
    ty = 41279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24895 / 41279 ti = "16/24895/41279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24895/41279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24895 ÷ 216
    24895 ÷ 65536
    x = 0.379867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41279 ÷ 216
    41279 ÷ 65536
    y = 0.629867553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.379867553710938 × 2 - 1) × π
    -0.240264892578125 × 3.1415926535
    Λ = -0.75481442
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.629867553710938 × 2 - 1) × π
    -0.259735107421875 × 3.1415926535
    Φ = -0.815981905332596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75481442} λ = -0.75481442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815981905332596))-π/2
    2×atan(0.442204910758291)-π/2
    2×0.416352650016658-π/2
    0.832705300033316-1.57079632675
    φ = -0.73809103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75481442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.247681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73809103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.289501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24895 KachelY 41279 -0.75481442 -0.73809103 -43.247681 -42.289501
    Oben rechts KachelX + 1 24896 KachelY 41279 -0.75471855 -0.73809103 -43.242188 -42.289501
    Unten links KachelX 24895 KachelY + 1 41280 -0.75481442 -0.73816195 -43.247681 -42.293564
    Unten rechts KachelX + 1 24896 KachelY + 1 41280 -0.75471855 -0.73816195 -43.242188 -42.293564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.73809103--0.73816195) × R
    7.09199999999743e-05 × 6371000
    dl = 451.831319999837m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.73809103--0.73816195) × R
    7.09199999999743e-05 × 6371000
    dr = 451.831319999837m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75481442--0.75471855) × cos(-0.73809103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739754407791688 × 6371000
    do = 451.832945082746m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75481442--0.75471855) × cos(-0.73816195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739706685496696 × 6371000
    du = 451.803796888608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.73809103)-sin(-0.73816195))×
    abs(λ12)×abs(0.739754407791688-0.739706685496696)×
    abs(-0.75471855--0.75481442)×4.77222949920586e-05×
    9.58699999999979e-05×4.77222949920586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77222949920586e-05×40589641000000
    ar = 204145.691048181m²