Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24897 / 41281
↖ ↑ ↗
← S 42.297627°
W 43.236694°		 ← 451.77 m → S 42.297627°
W 43.231201°		 →
↑
451.83 m
↓
↑
451.83 m
↓
S 42.301691°
W 43.236694°		 ← 451.75 m →
204 119 m²		 S 42.301691°
W 43.231201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379905700683594 y=0.629905700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379905700683594 × 216)
    floor (0.379905700683594 × 65536)
    floor (24897.5)     		tx = 24897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629905700683594 × 216)
    floor (0.629905700683594 × 65536)
    floor (41281.5)     		ty = 41281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24897 / 41281 ti = "16/24897/41281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24897/41281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24897 ÷ 216
    24897 ÷ 65536     		x = 0.379898071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41281 ÷ 216
    41281 ÷ 65536     		y = 0.629898071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379898071289062 × 2 - 1) × π
    -0.240203857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75462267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629898071289062 × 2 - 1) × π
    -0.259796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.816173652931076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75462267} λ = -0.75462267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816173652931076))-π/2
    2×atan(0.442120127157403)-π/2
    2×0.416281731526248-π/2
    0.832563463052496-1.57079632675     		φ = -0.73823286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75462267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.236694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73823286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.297627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24897 KachelY 41281 -0.75462267 -0.73823286 -43.236694 -42.297627
    Oben rechts KachelX + 1 24898 KachelY 41281 -0.75452680 -0.73823286 -43.231201 -42.297627
    Unten links KachelX 24897 KachelY + 1 41282 -0.75462267 -0.73830378 -43.236694 -42.301691
    Unten rechts KachelX + 1 24898 KachelY + 1 41282 -0.75452680 -0.73830378 -43.231201 -42.301691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73823286--0.73830378) × R
    7.09199999999743e-05 × 6371000     		dl = 451.831319999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73823286--0.73830378) × R
    7.09199999999743e-05 × 6371000     		dr = 451.831319999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75462267--0.75452680) × cos(-0.73823286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73965896621106 × 6371000     		do = 451.774650532548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75462267--0.75452680) × cos(-0.73830378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739611236475906 × 6371000     		du = 451.745497794051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73823286)-sin(-0.73830378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73965896621106-0.739611236475906)×R²
    abs(-0.75452680--0.75462267)×4.77297351536565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77297351536565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77297351536565e-05×40589641000000     		ar = 204119.350718041m²