Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24898 / 41282
↖ ↑ ↗
← S 42.301691°
W 43.231201°		 ← 451.75 m → S 42.301691°
W 43.225708°		 →
↑
451.70 m
↓
↑
451.70 m
↓
S 42.305753°
W 43.231201°		 ← 451.72 m →
204 049 m²		 S 42.305753°
W 43.225708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379920959472656 y=0.629920959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379920959472656 × 216)
    floor (0.379920959472656 × 65536)
    floor (24898.5)     		tx = 24898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629920959472656 × 216)
    floor (0.629920959472656 × 65536)
    floor (41282.5)     		ty = 41282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24898 / 41282 ti = "16/24898/41282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24898/41282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24898 ÷ 216
    24898 ÷ 65536     		x = 0.379913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41282 ÷ 216
    41282 ÷ 65536     		y = 0.629913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.24017333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75452680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.25982666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.816269526730316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75452680} λ = -0.75452680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816269526730316))-π/2
    2×atan(0.442077741452963)-π/2
    2×0.416246275712622-π/2
    0.832492551425245-1.57079632675     		φ = -0.73830378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75452680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.231201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73830378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.301691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24898 KachelY 41282 -0.75452680 -0.73830378 -43.231201 -42.301691
    Oben rechts KachelX + 1 24899 KachelY 41282 -0.75443093 -0.73830378 -43.225708 -42.301691
    Unten links KachelX 24898 KachelY + 1 41283 -0.75452680 -0.73837468 -43.231201 -42.305753
    Unten rechts KachelX + 1 24899 KachelY + 1 41283 -0.75443093 -0.73837468 -43.225708 -42.305753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73830378--0.73837468) × R
    7.08999999999849e-05 × 6371000     		dl = 451.703899999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73830378--0.73837468) × R
    7.08999999999849e-05 × 6371000     		dr = 451.703899999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75452680--0.75443093) × cos(-0.73830378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739611236475906 × 6371000     		do = 451.745497794051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75452680--0.75443093) × cos(-0.73837468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739563516482505 × 6371000     		du = 451.716351005698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73830378)-sin(-0.73837468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739611236475906-0.739563516482505)×R²
    abs(-0.75443093--0.75452680)×4.77199934010297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77199934010297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77199934010297e-05×40589641000000     		ar = 204048.62038741m²