Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2495 / 449
↖ ↑ ↗
← N 80.163710°
E 39.287109°		 ← 1 669.55 m → N 80.163710°
E 39.375000°		 →
↑
1 670.79 m
↓
↑
1 670.79 m
↓
N 80.148684°
E 39.287109°		 ← 1 672.08 m →
2 791 592 m²		 N 80.148684°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6092529296875 y=0.1097412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6092529296875 × 212)
    floor (0.6092529296875 × 4096)
    floor (2495.5)     		tx = 2495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1097412109375 × 212)
    floor (0.1097412109375 × 4096)
    floor (449.5)     		ty = 449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2495 / 449 ti = "12/2495/449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2495/449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2495 ÷ 212
    2495 ÷ 4096     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 449 ÷ 212
    449 ÷ 4096     		y = 0.109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109619140625 × 2 - 1) × π
    0.78076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45283527975903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45283527975903))-π/2
    2×atan(11.6212495464354)-π/2
    2×1.48495850489399-π/2
    2.96991700978798-1.57079632675     		φ = 1.39912068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39912068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.163710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2495 KachelY 449 0.68568941 1.39912068 39.287109 80.163710
    Oben rechts KachelX + 1 2496 KachelY 449 0.68722339 1.39912068 39.375000 80.163710
    Unten links KachelX 2495 KachelY + 1 450 0.68568941 1.39885843 39.287109 80.148684
    Unten rechts KachelX + 1 2496 KachelY + 1 450 0.68722339 1.39885843 39.375000 80.148684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39912068-1.39885843) × R
    0.000262250000000019 × 6371000     		dl = 1670.79475000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39912068-1.39885843) × R
    0.000262250000000019 × 6371000     		dr = 1670.79475000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68722339) × cos(1.39912068) × R
    0.00153397999999993 × 0.170833602735543 × 6371000     		do = 1669.55450694744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68722339) × cos(1.39885843) × R
    0.00153397999999993 × 0.171091991755112 × 6371000     		du = 1672.07973936811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39912068)-sin(1.39885843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170833602735543-0.171091991755112)×R²
    abs(0.68722339-0.68568941)×0.000258389019568761×R²
    0.00153397999999993×0.000258389019568761×6371000²
    0.00153397999999993×0.000258389019568761×40589641000000     		ar = 2791592.49358243m²