Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2496 / 960
↖ ↑ ↗
← N 68.656555°
E 39.375000°		 ← 3 556.95 m → N 68.656555°
E 39.462890°		 →
↑
3 559.54 m
↓
↑
3 559.54 m
↓
N 68.624543°
E 39.375000°		 ← 3 562.04 m →
12 670 171 m²		 N 68.624543°
E 39.462890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6094970703125 y=0.2344970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6094970703125 × 212)
    floor (0.6094970703125 × 4096)
    floor (2496.5)     		tx = 2496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2344970703125 × 212)
    floor (0.2344970703125 × 4096)
    floor (960.5)     		ty = 960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2496 / 960 ti = "12/2496/960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2496/960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2496 ÷ 212
    2496 ÷ 4096     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 960 ÷ 212
    960 ÷ 4096     		y = 0.234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234375 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66897109717187))-π/2
    2×atan(5.30670490358644)-π/2
    2×1.38453963216904-π/2
    2.76907926433808-1.57079632675     		φ = 1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2496 KachelY 960 0.68722339 1.19828294 39.375000 68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 2497 KachelY 960 0.68875737 1.19828294 39.462890 68.656555
    Unten links KachelX 2496 KachelY + 1 961 0.68722339 1.19772423 39.375000 68.624543
    Unten rechts KachelX + 1 2497 KachelY + 1 961 0.68875737 1.19772423 39.462890 68.624543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19828294-1.19772423) × R
    0.000558709999999962 × 6371000     		dl = 3559.54140999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19828294-1.19772423) × R
    0.000558709999999962 × 6371000     		dr = 3559.54140999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68875737) × cos(1.19828294) × R
    0.00153398000000005 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 3556.95260908718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68875737) × cos(1.19772423) × R
    0.00153398000000005 × 0.364477920888042 × 6371000     		du = 3562.03782954525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19828294)-sin(1.19772423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.364477920888042)×R²
    abs(0.68875737-0.68722339)×0.000520334333464711×R²
    0.00153398000000005×0.000520334333464711×6371000²
    0.00153398000000005×0.000520334333464711×40589641000000     		ar = 12670170.9614426m²