Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 25 / 45
↖ ↑ ↗
← S 58.813742°
W 39.375000°		 ← 323.883 km → S 58.813742°
W 33.750000°		 →
↑
310.529 km
↓
↑
310.529 km
↓
S 61.606397°
W 39.375000°		 ← 297.428 km →
96 486.6 km²		 S 61.606397°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3984375 y=0.7109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3984375 × 26)
    floor (0.3984375 × 64)
    floor (25.5)     		tx = 25
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7109375 × 26)
    floor (0.7109375 × 64)
    floor (45.5)     		ty = 45
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 25 / 45 ti = "6/25/45"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/25/45.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25 ÷ 26
    25 ÷ 64     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45 ÷ 26
    45 ÷ 64     		y = 0.703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.703125 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Φ = -1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.27627201548437))-π/2
    2×atan(0.279075753670116)-π/2
    2×0.272151444228573-π/2
    0.544302888457146-1.57079632675     		φ = -1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25 KachelY 45 -0.68722339 -1.02649344 -39.375000 -58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 26 KachelY 45 -0.58904862 -1.02649344 -33.750000 -58.813742
    Unten links KachelX 25 KachelY + 1 46 -0.68722339 -1.07523446 -39.375000 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 26 KachelY + 1 46 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02649344--1.07523446) × R
    0.0487410199999998 × 6371000     		dl = 310529.038419999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02649344--1.07523446) × R
    0.0487410199999998 × 6371000     		dr = 310529.038419999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.58904862) × cos(-1.02649344) × R
    0.09817477 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 323882.78465282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.58904862) × cos(-1.07523446) × R
    0.09817477 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 297427.942244945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02649344)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.58904862--0.68722339)×0.0422958425982093×R²
    0.09817477×0.0422958425982093×6371000²
    0.09817477×0.0422958425982093×40589641000000     		ar = 96486613881.2748m²