Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25024 / 41408
↖ ↑ ↗
← S 42.811522°
W 42.539062°		 ← 448.07 m → S 42.811522°
W 42.533569°		 →
↑
448.07 m
↓
↑
448.07 m
↓
S 42.815551°
W 42.539062°		 ← 448.04 m →
200 761 m²		 S 42.815551°
W 42.533569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381843566894531 y=0.631843566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381843566894531 × 216)
    floor (0.381843566894531 × 65536)
    floor (25024.5)     		tx = 25024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631843566894531 × 216)
    floor (0.631843566894531 × 65536)
    floor (41408.5)     		ty = 41408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25024 / 41408 ti = "16/25024/41408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25024/41408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25024 ÷ 216
    25024 ÷ 65536     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41408 ÷ 216
    41408 ÷ 65536     		y = 0.6318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6318359375 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.82834962543457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82834962543457))-π/2
    2×atan(0.436769525141391)-π/2
    2×0.411797157285579-π/2
    0.823594314571158-1.57079632675     		φ = -0.74720201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74720201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.811522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25024 KachelY 41408 -0.74244670 -0.74720201 -42.539062 -42.811522
    Oben rechts KachelX + 1 25025 KachelY 41408 -0.74235083 -0.74720201 -42.533569 -42.811522
    Unten links KachelX 25024 KachelY + 1 41409 -0.74244670 -0.74727234 -42.539062 -42.815551
    Unten rechts KachelX + 1 25025 KachelY + 1 41409 -0.74235083 -0.74727234 -42.533569 -42.815551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74720201--0.74727234) × R
    7.03300000000073e-05 × 6371000     		dl = 448.072430000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74720201--0.74727234) × R
    7.03300000000073e-05 × 6371000     		dr = 448.072430000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74235083) × cos(-0.74720201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733593220717427 × 6371000     		do = 448.069767369105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74235083) × cos(-0.74727234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733545423420315 × 6371000     		du = 448.04057336459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74720201)-sin(-0.74727234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733593220717427-0.733545423420315)×R²
    abs(-0.74235083--0.74244670)×4.77972971117957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77972971117957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77972971117957e-05×40589641000000     		ar = 200761.169043021m²