Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25084 / 41468
↖ ↑ ↗
← S 43.052834°
W 42.209472°		 ← 446.32 m → S 43.052834°
W 42.203980°		 →
↑
446.35 m
↓
↑
446.35 m
↓
S 43.056848°
W 42.209472°		 ← 446.29 m →
199 208 m²		 S 43.056848°
W 42.203980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382759094238281 y=0.632759094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382759094238281 × 216)
    floor (0.382759094238281 × 65536)
    floor (25084.5)     		tx = 25084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632759094238281 × 216)
    floor (0.632759094238281 × 65536)
    floor (41468.5)     		ty = 41468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25084 / 41468 ti = "16/25084/41468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25084/41468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25084 ÷ 216
    25084 ÷ 65536     		x = 0.38275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41468 ÷ 216
    41468 ÷ 65536     		y = 0.63275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.2344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73669427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.834102053388977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73669427} λ = -0.73669427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834102053388977))-π/2
    2×atan(0.434264252523828)-π/2
    2×0.40969131131771-π/2
    0.819382622635421-1.57079632675     		φ = -0.75141370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73669427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.209472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75141370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.052834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25084 KachelY 41468 -0.73669427 -0.75141370 -42.209472 -43.052834
    Oben rechts KachelX + 1 25085 KachelY 41468 -0.73659840 -0.75141370 -42.203980 -43.052834
    Unten links KachelX 25084 KachelY + 1 41469 -0.73669427 -0.75148376 -42.209472 -43.056848
    Unten rechts KachelX + 1 25085 KachelY + 1 41469 -0.73659840 -0.75148376 -42.203980 -43.056848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75141370--0.75148376) × R
    7.00599999999829e-05 × 6371000     		dl = 446.352259999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75141370--0.75148376) × R
    7.00599999999829e-05 × 6371000     		dr = 446.352259999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73669427--0.73659840) × cos(-0.75141370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730724505322326 × 6371000     		do = 446.317591090167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73669427--0.73659840) × cos(-0.75148376) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730676675495975 × 6371000     		du = 446.288377217191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75141370)-sin(-0.75148376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730724505322326-0.730676675495975)×R²
    abs(-0.73659840--0.73669427)×4.78298263505428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78298263505428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78298263505428e-05×40589641000000     		ar = 199208.345703456m²