Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25087 / 57855
↖ ↑ ↗
← S 79.686201°
W 42.192993°		 ← 109.35 m → S 79.686201°
W 42.187500°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 79.687184°
W 42.192993°		 ← 109.34 m →
11 962 m²		 S 79.687184°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382804870605469 y=0.882804870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382804870605469 × 216)
    floor (0.382804870605469 × 65536)
    floor (25087.5)     		tx = 25087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882804870605469 × 216)
    floor (0.882804870605469 × 65536)
    floor (57855.5)     		ty = 57855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25087 / 57855 ti = "16/25087/57855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25087/57855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25087 ÷ 216
    25087 ÷ 65536     		x = 0.382797241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57855 ÷ 216
    57855 ÷ 65536     		y = 0.882797241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382797241210938 × 2 - 1) × π
    -0.234405517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73640665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882797241210938 × 2 - 1) × π
    -0.765594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4051860015367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73640665} λ = -0.73640665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4051860015367))-π/2
    2×atan(0.0902487076502316)-π/2
    2×0.0900048780120361-π/2
    0.180009756024072-1.57079632675     		φ = -1.39078657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73640665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.192993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39078657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.686201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25087 KachelY 57855 -0.73640665 -1.39078657 -42.192993 -79.686201
    Oben rechts KachelX + 1 25088 KachelY 57855 -0.73631078 -1.39078657 -42.187500 -79.686201
    Unten links KachelX 25087 KachelY + 1 57856 -0.73640665 -1.39080374 -42.192993 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 25088 KachelY + 1 57856 -0.73631078 -1.39080374 -42.187500 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39078657--1.39080374) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39078657--1.39080374) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73640665--0.73631078) × cos(-1.39078657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179039172578424 × 6371000     		do = 109.354936961818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73640665--0.73631078) × cos(-1.39080374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 109.344619172853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39078657)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179039172578424-0.179022279985821)×R²
    abs(-0.73631078--0.73640665)×1.68925926029295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68925926029295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68925926029295e-05×40589641000000     		ar = 11961.7798777076m²