Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25088 / 8704
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
W 42.187500°		 ← 120.43 m → N 78.630006°
W 42.182007°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
N 78.628923°
W 42.187500°		 ← 120.44 m →
14 501 m²		 N 78.628923°
W 42.182007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382820129394531 y=0.132820129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382820129394531 × 216)
    floor (0.382820129394531 × 65536)
    floor (25088.5)     		tx = 25088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132820129394531 × 216)
    floor (0.132820129394531 × 65536)
    floor (8704.5)     		ty = 8704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25088 / 8704 ti = "16/25088/8704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25088/8704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25088 ÷ 216
    25088 ÷ 65536     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8704 ÷ 216
    8704 ÷ 65536     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25088 KachelY 8704 -0.73631078 1.37235249 -42.187500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 25089 KachelY 8704 -0.73621490 1.37235249 -42.182007 78.630006
    Unten links KachelX 25088 KachelY + 1 8705 -0.73631078 1.37233359 -42.187500 78.628923
    Unten rechts KachelX + 1 25089 KachelY + 1 8705 -0.73621490 1.37233359 -42.182007 78.628923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37233359) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37233359) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73621490) × cos(1.37235249) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 120.425671987717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73621490) × cos(1.37233359) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.197162476354331 × 6371000     		du = 120.436990481568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37233359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197162476354331)×R²
    abs(-0.73621490--0.73631078)×1.85290438383667e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.85290438383667e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.85290438383667e-05×40589641000000     		ar = 14501.3654135884m²